Introdução às elipses

RKA - No último vídeo, aprendemos um pouco sobre o círculo. E, na verdade, o círculo é apenas um caso especial de uma elipse. Ele é um caso especial porque, em um círculo, sempre tem uma distância igual do centro do círculo, enquanto que, em uma elipse, a distância do centro do círculo está sempre mudando. Vocês conhecem o formato de uma elipse. Eu mostrei no primeiro vídeo. Ela tem mais ou menos este formato, e o que eu quero dizer é que o raio, ou a distância do centro, está sempre mudando. Digamos que isso está centrado na origem. Essa aqui é a origem. Vocês veem que estamos... realmente, se estiver neste ponto na elipse, estamos muito próximos da origem; e é o mais próximo que a gente chega, e onde chegaremos mais perto daqui. Quando estamos aqui, estamos bem longe da origem e é o mais longe que dá para chegar. Assim, um círculo é um caso especial porque, no caso do círculo, o mais distante da origem, a distância fica a mesma do que o mais próximo que dá para chegar; ou, em outras palavras, estaremos sempre exatamente na mesma distância da origem. Dito isso, vamos mais fundo na matemática. A equação geral ou padrão para uma elipse centrada na origem é "(x²/a²) + (y²/b²) = 1", onde "a" e "b" são dois números quaisquer. Eu poderia ter escrito como "c²" e "d²"; quero dizer que são apenas constantes. Apenas para te dar uma ideia do que significa se fosse nossa elipse. Agora, em questão: "a" é o comprimento do raio na direção "x" (lembre-se que teremos "a²" aqui embaixo; se calcular a raiz quadrada do que está no denominador, "a" é o raio de "x"). Essa distância no nosso gráfico é "a", e este ponto (já que estamos centrados na origem) será o ponto "x", que é igual a "a", e "y" é igual a zero. E é claro que esse ponto será "a", já que a distância também é "a". Então, isso será o ponto (-a, 0). Depois, o raio na direção "y" seria este raio, e ele vale "b". Este ponto seria "x", que é igual a zero, e "y" é igual a "b". Da mesma forma, esse ponto seria "x = 0", "y = -b". Da forma que desenhei tem uns tipos de elipse curta e grossa e também podemos ter uma elipse alta e fina, mas, na elipse curta e grossa, a direção que é curta é chamada de "eixo menor". "b"... puxa! Sempre me esqueço da terminologia exata... mas "b" chama de "semieixo" ou do "comprimento do seu semieixo menor". De onde veio esta palavra? Se tudo for seu eixo menor... ou talvez pudesse chamar de seu diâmetro menor... se tudo for seu diâmetro menor, é chamado de menor porque ele é o diâmetro mais curto de todos os diâmetros desta elipse. E o semi significa metade disso. "b" é o comprimento do semieixo menor. Esse é o "b" neste exemplo, porque, da forma como eu desenhei esta elipse, aconteceu de "b" ser menor que "a". Se "b" fosse maior que "a", teria uma elipse alta e fina. Deixa eu desenhar uma. Ela poderia ter esse formato. Poderia ter uma elipse com mais ou menos este formato. Caso em que, de repente, "b" seria o semieixo maior porque "b" seria maior que "a", então seria mais alto do que largo. Mas não vamos bagunçar muito o gráfico. Nesse caso, "a" é o comprimento do... acho que já adivinharam... "a" é o comprimento do eixo semi maior; ou dá para dizer, comprimento do raio maior. Acho que faz mais sentido. Pode chamar de raio maior e pode chamar de raio menor. Vamos fazer um exemplo. Eu acho que, quando fizermos um exemplo com números de verdade, tudo deve ficar mais claro. Digamos que eu bata à sua porta com o seguinte: se eu dissesse que "(x²/9) + (y²/25) = 1", qual é seu raio na direção "x"? Este é seu raio na direção "x²". Seu raio na direção "x", se o calcular, a gente diria que "a" é igual a 3, porque é "a²". E, se olhar, diria que é "b²". Então, isso nos diz que "b" é igual a 5. Assim, se quiser fazer um gráfico, mais uma vez, está centrado na origem. Vou desenhar a elipse primeiro. Antes de mais nada, a gente tem que nosso raio na direção "y" é maior do que nosso raio na direção "x". A elipse será mais alta e mais fina e terá mais ou menos esse formato. Vou traçar os eixos. Este poderia ser nosso eixo "x"; e, aqui, o "y". Este é o nosso raio na direção "y". Essa distância vai ser 5; e, essa distância, também. Esse é o nosso raio na direção "x". Vai ser 3 e 3. Pronto! Acabamos de traçar nossa elipse; nada de muito complicado aqui. Agora, apenas para comprovar que o círculo é um caso especial de uma elipse, aprendemos no último vídeo que a equação de um círculo é "x²"... de um círculo centrado na origem.... "x² + y² = r²". Se dividir os dois lados por esse "r²", obteríamos... (e é apenas uma pequena manipulação algébrica)... "(x²/r²) + (y²/r²) = 1". Neste caso, seu "a" é "r", e seu "b", também. Seu semieixo menor é "r", e seu semieixo maior, também. Ou, em outras palavras, essa distância é a mesma que essa distância. Então, ela não será curta e grossa, nem alta e fina; ela será perfeitamente redonda. E é por isso que o círculo é um caso especial de uma elipse. Vou mostrar algo que vai parecer bem mais complicado e devem ver em alguma prova, mas eu quero apenas mostrar que é um deslocamento. Digamos que queremos deslocar esta elipse. Digamos que queremos deslocar para a direita em 5. Então, em vez da origem ser em "x = 0", a origem será agora em "x = 5". E uma maneira de pensar sobre isso é: quanto esse termo precisa ser de forma que, no 5, esse termo acabe sendo zero? Vou desenhar porque eu acho que podem estar ficando confusos. Se mover para a direita em 5, a nova equação desta elipse será "(x - 5)²" sobre 9 mais "y²" sobre 25, que é igual a 1. Se eu desenhasse esta elipse agora, ela teria este formato. Quero que fique bem parecida com a elipse que eu tinha feito antes. Ela teria esse formato deslocada em 5 pontos. E com base na intuição que aprendemos um pouco no vídeo sobre círculos, onde eu disse: "ah, bem que sabem que, se tiver "x" menos alguma coisa, significa que a nova origem agora é em +5 . E pode memorizar; sempre pode dizer: "ah se tiver um 'menos', então a origem será no negativo deste número, seja lá qual ele for". Ele seria um +5; e sabe que, se tivesse um positivo, seria o oposto disso. Mas uma forma de pensar é, se for para "x" igual a 5... quando "x" é igual a 5, todo esse termo, "x - 5", irá se comportar como esse termo "x" aqui. Quando "x" é igual a 5, esse termo é zero (da mesma forma que quando "x" era zero aqui). Quando "x" é igual a 5, esse termo é zero, e, então, "y²/25" é igual a 1. "y" tem que ser igual a 5, da mesma forma que, quando "x" é igual a zero, "y²/25" tinha que ser igual a 1; e "y" é igual a ±5. Eu realmente quero que tenham essa intuição. E digamos que queremos deslocar esta equação para baixo em 2 pontos. Agora, nossa nova elipse teria este formato. Vocês já viram muitas vezes em seções cônicas, mas isso é verdade para qualquer função. Quando deslocam coisas, deslocam desse jeito. Se deslocarem este gráfico para a direita em 5 pontos, deverão substituir todos os "x" por "x - 5". E, se deslocarem para baixo em 2 pontos, substituiriam todos os "y" por "y + 2". Vou desenhar primeiro nossa nova elipse apenas para mostrar o que eu estou fazendo. Nossa nova elipse terá mais ou menos esse formato. Estou deslocando a elipse amarela 2 pontos para baixo. Essa equação, se eu deslocar para baixo, o "x" ainda está onde ele estava antes. "(x - 5)²" sobre 9 mais "(y + 2)²" sobre 25 é igual a 1. Mais uma vez: a razão pela qual eu sei disto é que, agora, quando "y" é -2, todo esse termo é zero. Zero quando "y" é igual a -2. E, quando esse termo é zero, ele se comporta do mesmo jeito de quando esse termo era zero, quando "y" é igual -2. A gente tem o mesmo comportamento, estamos no mesmo ponto da curva; na verdade, onde estávamos quando "y" era igual a zero, nesta aqui. Não é o mesmo ponto, vocês podem visualizar como a mesma parte da elipse. Vocês estão no ponto máximo da largura na elipse aqui e aqui quando "y" é igual a 2 e estavam em "y" é igual a zero... ah, desculpa! Quando "y" é igual a -2. Isto é -2. É porque, quando eu coloco um "y" igual ao -2 aqui, todo esse termo é zero (da mesma forma quando o "y" era zero). Eu não quero confundir demais, mas só para concluir que algumas vezes poderão ver algo como o gráfico que segue: "(y - 1)²" sobre 4 mais "(x + 2)²" sobre 9 é igual a 1. Assim, a primeira coisa que você pode falar é: isto é igual à elipse padrão, onde "y²/4 + x²/9 = 1". É igual a isto, mas a elipse é deslocada. A origem desta é (0, 0). E qual seria a origem desta aqui? Ela seria o ponto "x", que é -2, e "y", que é 1. Se fosse desenhar o gráfico disso, seu raio na direção "y" é 2 (2² é igual a 4). Seu raio na direção "x" é 3 (3² é igual a 9). Então, seu raio "x", na verdade, é maior do que seu raio "y". Ela será uma elipse um pouco grossa. Vou desenhar os eixos primeiro. Esse é meu eixo vertical e este é meu eixo "x". Meu centro está agora em (-2, 1). E é -2, e subo 1. Este é o centro da minha elipse. Agora, na direção "x"... este é o termo "x". Meu raio de "x" é 3. A elipse avançará 3 nesta direção. Este é o seu ponto mais distante e será o 3 nesta direção. Depois, na direção "y", vou me mover 2. Então, ele subirá um, dois... e é aqui. E um e dois, e ele está aqui. Se eu fosse desenhar esta elipse, teria esse formato na melhor das minhas tentativas. Um pouco mais grossa do que alta porque seu raio "x" é maior do que seu raio "y". Essa distância aqui é 3. Essa distância aqui é 3. Essa distância aqui é 2. Essa distância aqui é 2. Vocês poderiam descobrir o que são estes pontos. Eu não vou fazer todos eles agora porque eu não tenho mais tempo, mas esse é o ponto (-2, 1). Se avançar mais 3, se somar 3 na direção "x", será o ponto (1, 1). Se tirassem 3 da direção "x", seria (-5, 1). E podem descobrir outros pontos. Esse seria um bom exercício para vocês. De qualquer forma, falamos um pouco sobre as elipses. Nos próximos vídeos, a gente vai resolver problemas difíceis, onde terão que simplificar para esta forma para saber definitivamente o que é uma elipse.