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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 5
Lição 2: Centro e raios de uma elipse- Introdução às elipses
- Gráfico e propriedades das elipses
- Centro e raios de elipses a partir da equação
- Equação reduzida da elipse a partir do gráfico
- Gráfico da elipse a partir da equação reduzida
- Equação reduzida e gráfico da elipse
- Revisão das propriedades da elipse
- Revisão da equação da elipse
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Equação reduzida da elipse a partir do gráfico
Dada uma elipse no plano cartesiano, determinamos sua equação reduzida, que é uma equação na forma (x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Temos aqui uma elipse representada graficamente
e o que queremos fazer é obter a equação para esta elipse. Como sempre, pause o vídeo
e tente descobrir isso sozinho. Vamos lembrar, então, a forma da equação da elipse. Vamos lembrar que o centro da elipse está em um ponto
de coordenadas "h" na abcissa e "k" na ordenada. Estou falando de maneira geral. Depois falaremos especificamente com os valores desta elipse. A medida do semieixo horizontal vamos dizer que,
de maneira geral, é indicada por "a" e vamos dizer que a medida do semieixo vertical
é indicada pela medida "b". Nestas condições, a equação para a elipse será
(x menos h), que é a abcissa do centro ao quadrado sobre a medida do semieixo horizontal ao quadrado mais... Agora vamos olhar para a direção vertical. (y menos k), que é ordenada do centro da elipse,
tudo ao quadrado, sobre b, que é a medida do eixo vertical, ao quadrado, e isso tudo igual a 1. Esta é a equação da elipse de maneira genérica
para qualquer elipse definida nestas condições. O que precisamos para escrever a equação da elipse
especificamente para este exemplo é determinar, na verdade,
que valores são "a", "b", “h” e “k”. Começando pelas coordenadas do centro,
“h” é abcissa do centro e “k” é ordenada do centro. Vamos olhar ali no centro da elipse graficamente e vamos perceber que o centro tem as coordenadas -4 na abcissa e 3 na ordenada, ou seja, h é -4
e k é 3. Colocando na equação, no lugar do h vamos ter -4
e no lugar do k vamos ter 3. Agora vamos determinar o valor de "a". "a" é a medida do semi eixo horizontal,
ou seja, metade da medida do eixo horizontal e os semieixo horizontal está
indicado por este segmento aqui. A medida dele determina o valor de "a". Aqui, paralelamente ao eixo x,
podemos contar uma, duas, três, quatro, cinco unidades de comprimento. Então o valor de "a" é 5. Colocando na equação, vamos ter 5². Para determinar "b" vamos olhar a medida do semieixo vertical, que está aqui em laranja, e vamos contar uma, duas, três, quatro unidades. Portanto, "b" é igual a 4. Na equação, portanto, no lugar do b é 4
e vamos ter ali 4² no denominador. Reescrevendo a equação vamos ter x menos -4
(já vamos simplificar isso tudo) ao quadrado sobre 5, que é a medida do semieixo horizontal, ao quadrado, resultando em 25 mais (y menos 3), tudo ao quadrado, sobre 4², que são 16. E isso tudo tem que ser igual a 1. Vamos arrumar o sinal.
(x menos -4) equivale a (x mais 4) e aqui já temos a equação para esta elipse. Lembre-se de que x e y são as coordenadas
de quaisquer pontos da elipse, portanto eles variam. Por isso continuam como letras x e y. Os outros valores são valores constantes. As coordenadas do centro
e as medidas dos semieixos horizontal e vertical. Até o próximo vídeo!