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Focos de uma elipse a partir da equação

Transcrição de vídeo

RKA - Digamos que tem uma equação de elipse "(x²/a²) + (y²/b²) = 1". E, no caso dessa discussão, vamos considerar que "a" é maior do que "b". Significa uma elipse curta e grossa, ou que o semieixo maior ou o eixo maior será ao longo da horizontal e o eixo menor é ao longo da vertical. Vamos desenhar esta elipse. Eu quero desenhar uma elipse mais grossa. Digamos que esta é minha elipse e vou desenhar os eixos. Ok, este é o horizontal e aqui o vertical. E já estudamos a elipse em todos os seus detalhes. A gente sabe como determinar o semirraio menor, que neste caso é "b". Esse é o mesmo "b" ali; e isso é só o semirraio menor, porque "b" é menor do que "a". Se "b" fosse maior, seria o raio maior. É claro, o raio maior é "a", e essa distância é isso aqui. Agora, outra propriedade superinteressante de uma elipse é que, se pegar qualquer ponto na elipse e medir a distância desse ponto... medir a distância desse ponto até dois pontos especiais, que vamos chamar de foco, esses dois pontos estarão sempre ao longo do eixo maior. Neste caso, é o eixo horizontal e são simétricos em volta do centro da elipse. Vamos nomear estes pontos de "f₁", e este de "f₂" ("f" de foco). A propriedade superinteressante e fascinante de uma elipse é frequentemente usada como a definição de uma elipse que se pode pegar qualquer ponto nesta elipse e medir a sua distância para cada um desses dois pontos. Digamos que tenho essa distância e vamos chamar essa distância de "d₁". Tenho essa distância e estou pegando qualquer ponto nessa elipse ou esse ponto específico e medindo a distância a cada um desses dois focos. E isso é "d₂"... (vamos fazer numa cor diferente)... este é "d₂", que é toda esta reta aqui. "d₂" Não é o Marcelo D2, hein, gente! Quando determinar essas duas distâncias, você soma esse "d₂ + d₁" será uma constante que, na verdade, será igual a "2a". Mas acontece que é verdadeiro em qualquer parte da elipse. Vou esclarecer esse ponto. Melhor provar que essa distância constante na verdade é "2a", onde este "a" é igual a esse "a". Só para ter certeza de que entendeu, vou pegar outro ponto arbitrariamente nesta elipse. Vamos pegar esse aqui. E, se medir a distância desse ponto para esse foco (essa distância vai ser chamada de "d₃"), depois de medir a distância deste ponto para esse foco (vamos chamar de "d₄"), se somar essas duas distâncias, ainda será igual a "2a". Deixa eu escrever: "d₃ + d₄" ainda vai ser igual a "2a". Isso é legal. E, na verdade, é frequentemente usado como a definição de uma elipse, onde dizem que a elipse é o conjunto de todos os pontos ou, às vezes, usam o nome geométrico, que é um tipo de representação gráfica do conjunto de todos os pontos, que é: a soma das distâncias de cada um desses focos é igual a uma constante. E vamos brincar com isso um pouco e ver como determinar os focos de uma elipse. Mas, a primeira coisa que tem que fazer é se sentir satisfeito de que a distância, se for verdadeira, é igual a "2a". E a forma mais fácil de determinar é escolher estes pontos extremos ao longo do eixo "x". Já dissemos que a distância daqui até aqui... (vou desenhar em outra cor)... que esta distância mais esta distância será igual a um número constante; e, usando esse ponto extremo, vou demonstrar que esse número constante é igual a "2a". Vamos determinar como fazer isso. Uma coisa para se levar em conta é que esses dois focos são simétricos em torno da origem. Qualquer que seja esta distância, vai ser igual a essa distância, porque esses dois pontos são simétricos em torno da origem. Esta é a mesma distância que esta. E, claro, que tenho o que a gente quer, que é determinar a soma dessa distância e essa distância mais longa. O que é a soma disso mais essa distância verde? É igual a isso. Então, mais o verde... chamo de distância "G"... só para dizer que vamos chamar esse de "G" e esse de "H". Agora, se este é "G" e esse é "H", também sabemos que é "G" porque tudo é simétrico. Quanto é "G + H"? É a mesma coisa que "G + H", que é o todo... é o diâmetro maior desta elipse, que é quanto? A gente sabe que o raio maior é "a", e esse comprimento também é "a". A distância ou a soma da distância deste ponto na elipse até este foco mais esse ponto na elipse até aquele foco é igual a "G + H", ou essa grande parte verde, que é a mesma coisa que o diâmetro maior desta elipse, que é a mesma coisa que "2a". Espero que seja suficiente para você. Agora, o próximo passo, já que entendemos, é como determinamos onde estão esses focos; ou, se tem essa equação, como dá para determinar o que são esses dois pontos? A primeira coisa a se ter em mente é que, não importa para onde vamos, foi fácil fazer com esses pontos, mas, mesmo se pegar este ponto e disser "ok, qual é essa distância?" e depois somamos àquela distância, isso também deveria ser igual a "2a". E dá para usar essa informação para determinar onde estão os focos. Digamos que tenho... vou desenhar mais uma. Não quero desenhar um círculo. Essa é a minha elipse e a gente quer desenhar os eixos para que fique claro. Vou escrever a equação de novo, só para não perder: "(x²/a²) + (y²/b²) = 1". Vamos pegar esse ponto. Esses pontos extremos sempre são úteis quando está tentando provar alguma coisa. Ou eles "podem" ser (não quero dizer "sempre", né?) Agora, dissemos que tem esses dois focos que são simétricos em torno do centro da elipse. Isto é "f₁"; isso é "f₂". E já dissemos que uma elipse é o lugar geométrico de todos os pontos, ou o conjunto de todos os pontos, que, se pegar a distância de cada um desses pontos até os focos e somar, terá um número constante. E determinamos que esse número constante é "2a". Então, determinamos que, se pegar essa distância e somar à essa distância, ela será igual a "2a". Dá para falar que, se chamar isso de "d₁"... "d₂"... sabemos que "d₁ + d₂ = 2a". E o que é interessante é que tudo é simétrico, certo? Esse comprimento será igual a "d₁"... será igual a "d₂", porque tudo que estamos fazendo é simétrico; esses dois cumprimentos focais são simétricos, essa distância é a mesma distância que esta distância aqui. "d₁" e "d₂" têm que ser iguais. Não tem como... esse é o ponto central exato da elipse... a elipse é simétrica em torno do eixo "y". Se "d₁ = d₂", e isso é igual a "2a", sabemos que tem que ser igual "a", e isso tem que ser igual "a". Acho que estamos progredindo! E a outra coisa que precisamos considerar, e já fizemos isso quando desenhamos a outra elipse, é o seguinte: qual é essa distância? Essa distância é o semirraio menor. Já sabemos que é "b". É claro que é o comprimento focal que estamos tentando determinar, e isso já deveria ter aparecido na sua cabeça como um problema de teorema de Pitágoras. Então, tem o comprimento focal, e dá para fazer nesse triângulo ou nesse triângulo; eu vou fazer nesse. Esse comprimento local é "f". "f² + b²" será igual à hipotenusa ao quadrado (que, nesse caso, é "d₂" ou "a"), que é igual a "a²". E, agora, tem uma bela equação em termos de "b" e "a". Sabemos o que são "b" e "a" da equação que nos foi dada para essa elipse, então, vamos calcular o comprimento focal. O comprimento focal "f²" é igual a "a² - b²". "f" é o comprimento focal, que será igual à raiz quadrada de "a² - b²". Muito legal e simples, e é uma forma intuitiva de pensar. Então, simplesmente, você pega a diferença desses dois números, quaisquer que sejam (o maior ou o menor), e subtrai do outro. Você tira a raiz quadrada, e essa é a distância focal. Agora, vamos ver se pode usar para aplicar em alguns problemas reais; onde podem te pedir: determine o comprimento focal ou determine as coordenadas dos focos. Digamos que eu tenha a equação: "(x - 1)²/9 + (y + 2)²/4 = 1". Primeiro, vamos fazer o gráfico porque pode ser interessante. Vou desenhar os eixos. Esse é o eixo "x"; esse é o eixo "y". E, imediatamente, a gente vê onde é o centro disso. O centro será no ponto (1, -2). E, se é confuso, talvez queira rever alguns dos vídeos anteriores. O centro está em 1. "x = 1"; "y = -2". Esse é o centro. E o eixo maior é o eixo "x", porque é maior. E "b²" é.... desculpa!... "a²" é igual a 9; e o semirraio menor será igual a 3. Então, um, dois, três... aí, você tem um, dois, três... Não!... um, dois, três... um, dois, três... um, dois, três... você vai aqui, mais ou menos. E, na direção "y", o semirraio menor é 2 (a raiz quadrada disso, então "b = 2"). Sobe 2 e depois desce 2. Essa elipse vai ficar mais ou menos... (vou pegar uma cor boa)... vai ficar mais ou menos assim. E o que queremos é determinar as coordenadas dos pontos focais. Os pontos focais vão estar ao longo do semieixo maior e precisamos determinar essas distâncias focais. Daí, basicamente, é preciso somar e subtrair do centro para ter as coordenadas. O que acabamos de mostrar (ou espero ter mostrado) é que o comprimento focal ou essa distância "f" é igual à raiz quadrada da diferença entre esses dois números (tá?). É a raiz quadrada de "9 - 4". O comprimento focal é igual à raiz quadrada de 5. Se esse ponto é o ponto... e já demonstramos que esse ponto... o centro da elipse é o ponto (1, -2)... a coordenada deste foco será (1 + √5, -2). E a coordenada deste foco será (1 - √5, -2). Eu só peguei o comprimento focal e subtrai uma vez... que estamos ao longo do eixo maior ou o eixo "x"... e só somo e subtraio da coordenada "x" para chegar a essas duas coordenadas. Isso é o que é legal sobre as cônicas, porque elas têm essas propriedades interessantes em relação a esses focos ou em relação a esses pontos focais. E, nos próximos vídeos, eu vou mostrar os focos de uma hipérbole ou o foco de uma parábola; mas, realmente, isso aqui está começando a mostrar o que faz as cônicas serem legais. Até agora mostramos a mecânica de fazer gráficos e determinar os centros das cônicas, mas estamos entrando um pouco na parte matemática interessante das cônicas. Bom, é isso. A gente se vê no próximo vídeo. Fui!