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Conteúdo principal

Focos de uma hipérbole a partir da equação

Neste vídeo, discutimos os focos de hipérboles e mostramos como eles se relacionam com as equações de hipérbole. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

RKA13E No último vídeo, aprendemos que uma elipse pode ser definida como: "o lugar geométrico de todos os pontos onde a soma das distâncias para dois pontos especiais, chamados de focos, é uma constante". Se esta é a minha elipse, ela está centrada na origem. Não precisa estar, mas para os nossos fins, vamos desenhá-las centrada na origem, tá bom? Se esse for um ponto focal e, este, o outro, a elipse pode ser definida como o conjunto de todos os pontos ou o lugar geométrico de todos os pontos onde, se medir a distância de qualquer um desses pontos que existem na elipse e medir a distância para cada um dos lugares geométricos, desculpa, cada um dos focos, se medir essa distância e somar com esta distância, vai chamar esta de d1. Não, muito grosso. Chama esta de d1, e esta de d2 E vai ser igual a um número constante ao longo de toda a elipse. Se eu pegar outro ponto aleatório ao redor da elipse e somar essa distância com esta distância. Vamos chamar esta de d3 e, esta aqui, de d4. A soma dessas distâncias para o foco ao longo desta elipse, será uma constante. Neste caso, "d2 + d1" vai ser igual a "d3 + d4". E será verdadeiro independente de onde estiverem em toda a elipse. Aprendemos no último vídeo que essa quantidade, na verdade, é igual a "2a", onde "a" é a distância do raio semimaior. Se esta é a fórmula para elipse, isto é de onde vem o "x² sobre a² + y² sobre b² = 1". A gente aprendeu que o foco, a distância focal ou a distância do centro da elipse, que é essa distância focal, é apenas a raiz quadrada da diferença entre esses dois números. Se isso for a distância focal daqui para cá, ela será igual a raiz quadrada de, se "a" for maior, então ela seria "a² - b²", que é o caso nessa elipse. Se eu tiver uma elipse vertical e não cobri isso no último vídeo, mas quero apenas mostrar como ela seria. Digamos que a elipse tem esse formato. Eu vou usar o azul. Digamos que a elipse tenha este formato. Neste caso, nosso raio semimenor está agora na direção "y", e é "b". É "a". E neste caso, "b" é maior do que "a" porque a elipse é alta na vertical e fina na horizontal. Neste caso, os focos sempre vão estar ao longo do eixo maior, e o eixo maior é o eixo vertical, então os focos vão estar aqui e aqui. E os comprimentos focais vão estar na vertical, abaixo da origem, e na vertical, acima da origem, em vez de ser "a² - b²", já que agora "b" é maior do que "a", o comprimento focal será igual a "b² - a²". Muito bem. Fiz tudo isso para comparar com o que iremos cobrir nesse vídeo, que são os pontos focais ou os focos de uma hipérbole. E uma hipérbole é muito parecida com uma elipse, eu acho que já perceberam, porque se esta é a equação de uma elipse, esta é a equação de uma hipérbole: "x² sobre a² - y² sobre b² = 1" ou dá para trocar esses dois, onde o sinal de menos estará à frente do "x", em vez do "y", e veremos já já. Mas essa hipérbole se parece com algo assim. Vamos tentar desenhá-la. Se eu desenhar os eixos e, depois, as assíntotas, dá para comprovar e poderiam assistir a alguns vídeos anteriores, mas assíntotas para esta hipérbole serão "y = ± b sobre a vezes x", e elas terão este formato. Vou desenhá-las como linhas inclinadas, e serão mais ou menos assim. Não, eu quero que elas fiquem assim. Estas são assim, mas essa está centrada na origem porque não foi movida, e elas são essas duas linhas. E é o que eu chamo de um tipo de hipérbole horizontal. A maneira como podem pensar nisso é, bom, se resolverem o "y", verão que sempre estarão um pouco abaixo da assíntota. A outra opção seria falar: "x" ou "y" pode ser igual a zero. Se "y = 0", nos coloca ao longo do eixo "x", e obtemos "x² sobre a² = 1", que significa que "x² = a²", que significa que "x = ± a". Então o ponto (a, 0) e o ponto (-a, 0) estão nesta hipérbole. E como eles têm que estar contidos por essas assíntotas e não podem ultrapassá-las, dá para saber que isso será uma hipérbole aberta para a esquerda e para a direita, então ela terá mais ou menos esse formato. Vou usar outra cor. Ela terá esse formato. Essa é a parte difícil, que vai ficar cada vez mais próxima desse lado. E pode ver como um dos vértices da hipérbole e e vai seguir assim, onde a distância. Observe a similaridade aqui com a elipse. Eu vou usar uma cor mais vibrante. Essa distância entre esses dois, talvez dê para chamar de cotovelos das duas elipses, essa distância é "a" e essa também é "a". Então tem uma distância de "2a" que é muito similar a essa situação onde a distância é "a", e essa distância é "a". A distância entre os dois pontos à esquerda e à direita em uma elipse horizontal é a mesma que a distância entre os dois pontos à esquerda e à direita em uma hipérbole. A única diferença é que a hipérbole abre para fora enquanto a elipse abre para dentro. Mas o objetivo desse vídeo é falar sobre os focos, e vocês já podem ter adivinhado, mencionei no último vídeo que hipérboles também têm focos, mas eles são abertos. Eles estarão à direita e à esquerda desses dois pontos. Então isso é um. Vou desenhar com uma cor clara porque eu quero que vejam. Digamos que são os dois focos e uma hipérbole que é... Observe a diferença. Uma elipse, uma das definições de uma elipse era que "a soma da distância de cada um desses pontos para os dois focos é uma constante". Agora, uma das definições de uma hipérbole é que "pode ser um lugar geométrico de todos os pontos onde mede a diferença", não a soma que você mede a diferença das distâncias entre os dois focos. Então se... Eu vou escrever. Isto é d1. d1. E isto é d2, que tem uma situação, e a gente poderia pegar o valor absoluto da diferença porque eles podem, em alguns pontos, ser d1, que será mais comprido do que d2 se estiverem nesta curva. Se estiverem nesta curva, d1 será mais curto do que d2, então "d1 - d2" é o valor absoluto que será igual à constante, na situação da elipse "d1 + d2" era uma constante, elas são muito parecidas. Na elipse, pegam a soma das distâncias aos pontos focais e dizem que ela é uma constante. Em uma hipérbole, pegam a diferença das distâncias para os pontos focais e dizem que ela é uma constante. Esse número aqui será exatamente a mesma coisa do que se pegasse um ponto aqui. E estou pegando esses pontos aleatoriamente, desde que eles estejam na hipérbole, e eu chamasse esses dois pontos de d3 e d4. A diferença entre d1 e d2 será a mesma coisa que a diferença entre d3 e d4. E vai ser uma constante ao longo de todo o caminho ao redor da hipérbole. A próxima questão é: essa constante será igual a quê? E é aqui que é útil encontrar um ponto onde pode usar a intuição, e fizemos com as elipses, onde dissemos que, se a gente medisse esses pontos, usaríamos a lógica, no último vídeo, para dizer "a soma da distância entre esse e esse, esta soma será igual a "2a" ou à distância do eixo semimaior". Como essa distância era igual a essa distância, então isto mais isto é a mesma coisa que isto mais aquilo, que é "2a". Todo o tempo os conteúdos, a soma das distâncias para os dois focos era igual a "2a". Agora, na hipérbole, qual é a diferença das distâncias para os dois focos? Vamos pegar esse ponto aqui na hipérbole. E a pergunta é: qual é a distância em rosa? Essa é a distância para aquele foco menos, menos esta, essa distância em azul. Essa distância em rosa menos essa distância em azul claro. Dá para usar um argumento muito similar àquele que usamos no caso da elipse. Essa distância em azul claro é a mesma à distância desse vértice ou do ponto à extrema esquerda dessa hipérbole, que se abre para a direita para este foco, é igual a essa distância, porque uma hipérbole é simétrica ao redor da origem, ou a distância focal é a mesma nos dois lados do centro da hipérbole, dependendo de como visualizar, mas acho que não é exagerado afirmar isso. Assim, se essa distância é a mesma que essa distância, então, a distância em rosa menos essa distância em azul, será igual a essa distância em verde. E essa distância em verde é o quê? É "2a". A gente viu isso no início do vídeo. Então, mais uma vez, também é igual a "2a". Vou deixar vocês com isso por enquanto. Não, na verdade, eu vou fazer um exercício porque eu quero que fique mais concreto, porque eu disse no início que se quisessem encontrar "a", se tiverem uma elipse "x² sobre a² + y² sobre b² = 1", a gente aprende que está "sobre b²" e é uma elipse. Aprendemos que o comprimento focal é igual a "√a² - b²". Agora, no caso de uma hipérbole, veem que há uma relação muito próxima entre a elipse e a hipérbole, mas é uma coisa divertida para se refletir. E a equação de uma hipérbole se parece com: "x² sobre a² - y² sobre b²", ou ela poderia ser "y² sobre b² - x² sobre a² = 1" Veremos, então, que esse problema matemático é um pouco complicado porque o comprimento focal de uma hipérbole é igual à raiz quadrada da soma desses dois números, e é igual à soma de "a² + b²". Se eu desse para vocês... Vejam a diferença, é apenas uma diferença no sinal. Estão pegando a diferença desses dois denominadores e, agora, estão pegando a soma dos dois denominadores, então, se eu desse a seguinte hipérbole: "x² sobre 9 + y² sobre 16 = 1". A primeira coisa a descobrir é o comprimento focal apenas usando a fórmula. O comprimento focal é igual a "√a² + b²", que é "a²", certo? "a" é 3, "b" é 4. "9 + 16" são 25, que é igual a 5. E se marcassem em um gráfico? Este é meu eixo "y", meu eixo x, e a distância focal é a distância para a esquerda e direita da origem. Se ela fosse um tipo de hipérbole, que se abre para cima e para baixo, estaria acima e abaixo da origem. Então essa é uma. Desculpa, deveria ser um sinal de "+", estamos fazendo com hipérbole e disso, deve ser um "-", eu não quero confundir vocês. O que eu escrevi antes, com um "+" teria sido uma elipse, um "-" é a hipérbole. Assim, as duas assíntotas serão "16 sobre 9", e serão assíntotas bem inclinadas porque vão ter esse formato. Os dois pontos de vértice estão em "2 vezes a", onde "a" é 3, certo? "a² = 9", "b² = 16". Então este é o centro, e assim os dois pontos do vértice: este é (3, -3). Depois os pontos focais estarão do centro, 5 para a direita. Serão esses pontos: são (5,0), e (-5,0). Este é -3 e este é 3, então se fosse marcar num gráfico, teria mais ou menos esse formato. Pronto. E se pegasse um ponto aleatório nesta hipérbole e medisse essa distância e subtraísse desta, seria um número constante que seria exatamente igual a "2a", ou exatamente igual a 6, nesse exemplo específico. De qualquer modo, espero não ter confundido muito com esse pequeno erro no sinal quase no fim do vídeo, mas no próximo eu provo esta fórmula que é uma álgebra um pouquinho complicada, mas muito divertida.