Demonstração da fórmula de focos de hipérbole

RKA13E No último vídeo, eu disse que se tivesse uma hipérbole com a equação "x² sobre a² - y² sobre b² = 1", a distância focal para esta hipérbole seria igual à raiz quadrada da soma desses dois números. A "√a² + b²". Nesse vídeo, eu quero demonstrar para vocês. E só para saberem, essa equação é uma hipérbole específica que se abre para a esquerda e para a direita, porque esses são os pontos das assíntotas. Esses seriam os eixos porque o termo "x" é positivo. Se o termo "y" fosse positivo, e o termo "x" tivesse um sinal negativo, então, a hipérbole se abriria para cima e para baixo assim. E a prova que estou mostrando nesse vídeo é apenas um monte de álgebra, que é idêntica ao caso do "y", e vocês apenas trocariam os "x" e os "y", mas queria apenas ter certeza de que entenderam que estou fazendo um caso específico de uma hipérbole que se abre para a esquerda e a direita. Poderia chamar de uma hipérbole horizontal em vez de vertical, mas queria deixar claro que ela é um outro tipo de hipérbole, enfim. Vamos desenhar uma representação gráfica para assegurar que entendemos, ou o que vamos entender novamente, ou entender melhor o que são os pontos focais, além de saber onde eles estão na hipérbole. Esses são os meus eixos, as assíntotas dessa hipérbole são as linhas "y = ± b sobre a". Ops, não estava usando uma ferramenta de linhas. Esta é a primeira assíntota, e esta é a segunda. Portanto, a hipérbole terá esse formato. Ela vai interceptar no ponto (a, 0) logo ali. Esse será o ponto (a, 0), e a interceptação será em (-a, 0), a gente viu no último vídeo. Ela se parece com isso aqui. Depois, os pontos focais estarão localizados em algum lugar aqui e aqui, e o comprimento focal, que é este "a² + b²", " √ a² + b²" é essa distância, que é a distância do comprimento focal. Esse será o ponto (f, 0), e esse o ponto (-f, 0). Aprendemos no último vídeo que uma das definições de uma hipérbole é "o lugar geométrico de todos os pontos ou o conjunto de todos os pontos, onde se eu medir a diferença das distâncias aos dois focos, essa diferença será um número constante". Então, se é o ponto (x, y), e poderia ser qualquer ponto que satisfaça esta equação, é qualquer ponto na hipérbole, e a gente sabe ou nos disseram que, se medisse essa distância chamada de d1 e subtraísse da distância do outro foco chamado de d2, este número seria uma constante independente de onde estiver na hipérbole. Na verdade, o lugar geométrico de todos os pontos é a hipérbole, que é todos os pontos que satisfazem esta condição. A gente aprendeu no último vídeo, quando medimos a diferença da distância que pegamos esse ponto, e dissemos: quanto é essa distância menos essa distância? Vimos que ela é "2a". Então "d1 - d2" é igual a. Estou saindo da tela. "d1 - d2 = 2a". Vamos, então, usar esse fato que "d1 - d2 = 2a" para tentar provar isso. Então, a primeira coisa a fazer é descobrir d1 e d2 usando a fórmula de distância. O que é d1? d1 é a distância entre este ponto e este ponto, (-f, 0). Assim, o que fazemos é apenas usar a fórmula de distância que, na verdade, é apenas um Teorema de Pitágoras. E é a diferença do "x" e a distância "x". Ele é "(x - f)²" mais as distâncias de y, "y - 0²" é apenas y². Vamos tirar a raiz quadrada disso. É d1 logo aqui. A gente quer subtrair isso de d2. A diferença entre as distâncias, e, nesse caso, d1 é definitivamente maior que d2, ou dá para calcular os valores absolutos, se não quisessem se preocupar com isso. Aqui, então, obtemos "√ (x - f)² + y²", e isso é igual a quê? A gente diz que é igual a "2a". Igual a essa distância aqui, é igual a "2a". Vamos ver agora se conseguimos simplificar tudo. Bom, uma coisa interessante simplesmente é passar isso para o outro lado da equação. Isso pode ficar bem complicado, então espero realmente não fazer nenhum erro bobo aqui. Vou escrever pequeno para economizar espaço. Isso se torna "(x + f)²", certo? menos com menos dá mais, e "+y² = 2a + √(x - f)² + y²". Agora vamos nos livrar desses radicais e elevar os dois lados dessa equação ao quadrado. Se elevar o lado esquerdo ao quadrado, ele se torna "(x + f)² + y²". Depois para elevar ao quadrado, a gente tem que elevar o primeiro termo ao quadrado, que é "4 × a²". A seguir, multiplicamos os dois termos e multiplicamos por 2, correto? Estamos simplesmente pegando tudo e elevando ao quadrado, então é apenas uma revisão de álgebra binomial. É igual a "+ 2a" vezes isto, vezes 2 é "4a × √(x - f)² + y²", e não vamos nos esquecer dessa potência. A seguir, elevamos esse termo ao quadrado, que é apenas a multiplicação de um binômio. Então isso é igual a ... A gente se livra do sinal de radical e continua com esta cor. É igual a "(x - f)² + y²". Parece que já podemos fazer algum cancelamento. Tem "y²" nos dois lados dessa equação, vamos cancelá-los. Subtraímos "y²" dos dois lados e vamos multiplicar esse termo. Então aqui é "x² + 2xf + f²", e isto é igual a "4a² + 4a × √ (x - f)² + y²". Vamos multiplicar. "+ x² - 2xf + f²". Vamos ver agora o que podemos cancelar. Tem "x²" nos dois lados, e subtraímos "x²" dos dois lados da equação. Tem um "f²" nos dois lados, vamos cancelá-los então. E vamos ver o que pode fazer para simplificar. Tem um "-2xf" e um "2xf". Vamos somar "2xf" aos dois lados ou passar esse termo para cá. Se somar "2xf" aos dois lados da equação, se somar "2xf" aos dois lados da equação, o que obteremos? Obteremos "4xf". Lembre-se de que apenas passei esse termo para o lado esquerdo, que é igual a "4a² + 4a × √(x - f)² + y²". É fácil se perder em álgebra. Lembre-se que tudo que estamos fazendo é apenas para lembrar que o objetivo desse exercício é simplificar a diferença das distâncias entre esses dois pontos e, depois, ver como ela se relaciona com a equação da própria hipérbole, os "a" e os "b". Vamos pegar esse "4a²" e passar para esse lado. Então obtemos "4xf - 4a² = 4a × √ ..." Vamos apenas multiplicar porque provavelmente vamos ter que fazer isso no final. "x² - 2xf + f² + y²", que é apenas isso multiplicado. Esse é o "y²" aqui. Poderíamos dividir os dois lados disso por 4. Tudo que estou tentando fazer é simplificar ao máximo possível para que isso se torne "xf - a² = a × √ de toda essa coisa: "x² - 2xf + f² + y²". Agora podemos elevar os dois lados dessa equação aqui, e se elevar os dois lados ao quadrado, esse lado fica "x² f² - 2a² xf + a⁴". Isso é esse lado elevado ao quadrado. E é igual a ... Se elevar o lado direito ao quadrado, "a²" vezes, o quadrado de uma raiz quadrada é simplesmente essa expressão. "(x² - 2xf + f² + y²)". Esse é um problema bem complicado. Vamos ver o que dá para fazer agora. Vamos dividir os dois lados da equação por "a²" e aí teremos "x² f²". Realmente estou tentando simplificar o máximo possível. sobre "a²" menos, os "a²" se cancelam, "- 2xf + a⁴". Dividido por "a²" é apenas "a²". Então "a² = x² - 2xf + f² + y²". Até aqui tudo bem. Há algo que pode ser cancelado. Há "-2xf" nos dois lados da equação, então vamos cancelá-los e simplifica a nossa situação um pouquinho. O que podemos fazer é subtrair esse "x²" disto e aí teremos: "x²f² / a² - x²". Vamos também passar esse "y" para esse outro lado da equação. Então "-y²", e foi tudo que eu fiz, só passei para esse lado. Agora vamos passar. Eu estou pulando muitas etapas, mas não quero que demore muito. Vamos pegar esse "a" e colocar nesse lado da equação. Pegamos o "x" e o "y" e subtraímos dos dois lados da equação. Eles terminaram no lado esquerdo. Depois, se subtrair "a²" dos dois lados, esse é um problema cansativo, obtemos "f² - a²". Acho que estamos quase lá, isso pode ser simplificado para... Vamos ver se podemos fatorar o "x²", que se torna "(f² sobre a² - 1) vezes x². Eu vou só fatorar "x²". "-y² = f²", o comprimento focal ao quadrado, - a²". E vejamos que vamos dividir os dois lados da equação por essa expressão. E aí teremos. Isso já deve parecer familiar, né. E teremos: "(f² / a² - 1) vezes x² dividido por (f² - a²) - y² / (f² - a²) = 1". Eu dividi os dois lados por isso, e obtenho 1 nesse lado direito. Vamos ver se eu consigo simplificar. Se eu multiplicar o numerador e o denominador por "a²", desde que multiplique o numerador e o denominador pelo mesmo número, estou simplesmente multiplicando meu por 1, então não estou mudando nada. Fazendo isso, o numerador ficar, se multiplicar ele, se torna "f² - a²". Estou só multiplicado por a². E o denominador fica "a² vezes (f² - a²)". Tudo vezes "x² - (y² / f² - a²) = 1", que se cancela com isto. E obtemos algo que está começando a se parecer com a equação de uma hipérbole. Minha energia está voltando. Parece que consegui ver luz no fim do túnel. Temos agora "x² / a² - y² / f² - a² = 1". Agora isso se parece bastante com a nossa equação original da hipérbole que era "x² / a² - y² / b² = 1". Na verdade, esta é a equação da hipérbole, mas em vez de escrever "b²", como escrevemos, perguntamos basicamente: qual é o lugar geométrico de todos os pontos onde a diferença das distâncias para esses dois focos é igual a "2a"? A gente só pratica um pouco de álgebra. Esse problema foi bem cansativo. Eu estou impressionado por terem aguentado até aqui. No final, obtivemos essa equação que deve ser a equação da hipérbole, e ela é a equação da hipérbole. Ela é esta equação, portanto é o mesmo que isso: "f² - a²". Ou a distância focal ao quadrado "- a² = b². Se somar "a²" aos dois lados, obtemos "f² = b² + a²", ou "a² + b²", que nos diz que o comprimento focal é igual √ "a² + b²". Isso foi o que estávamos tentando descobrir no início. Portanto, espero que estejam convencidos de que o comprimento focal de uma hipérbole é a soma desses dois denominadores, e isso também é verdadeiro se ela for uma hipérbole voltada para cima ou vertical. E se estiver lidando com uma elipse, ela é a diferença entre esses dois: a raiz quadrada da diferença entre esses dois números. Enfim, vou parar por aqui, esse problema foi demais. Preciso de um copo d'água.