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Equação de uma hipérbole com centro fora da origem

Neste vídeo, analisamos a hipérbole cuja equação é (x-1)^2/16-(y+1)^2/4=1, e a representamos graficamente. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

RKA13E Vamos ver se conseguimos fazer um problema de gráfico de hipérbole um pouco mais difícil. Vamos adicionar a hipérbole e inventar "(x-1)² sobre 16" menos "(y + 1)² sobre 4" é igual a 1. A primeira coisa que tem que considerar é que é uma hipérbole, e em alguns vídeos, a gente resolve um monte de problemas onde o primeiro ponto é identificar que tipo de cônica tem. E o segundo passo é fazer o gráfico dessa cônica. Eu já disse que vamos fazer um problema de hipérbole, e você sabe que é uma hipérbole, mas a forma de reconhecer é que tem esse "menos" do termo “y²”, e depois deslocamos. A forma clássica ou não deslocada de uma hipérbole, ou uma hipérbole centrada em zero, ficaria mais ou menos assim, principalmente se ela tem as mesmas assíntotas deslocados, mas centrada em zero, ficaria assim: "x² sobre 16" menos "y² sobre 4" é igual a 1. E a diferença entre esta hipérbole e esta hipérbole, o centro dessa hipérbole está no ponto “x = 1”. “x = 1”, e “y = -1” E o jeito de se pensar sobre isso é “x = 1” torna todo esse termo zero, e por isso é o centro. E “y = -1” torna esse termo zero. Aqui, claro, o centro é a origem. O centro é (0,0). A forma fácil de colocar no gráfico é, na verdade, colocar esta no gráfico, mas, daí, a desloca para o centro ser em (1,-1), em vez do centro ser em (0,0). Vamos fazer isso. Vamos determinar o coeficiente angular das duas assíntotas, e dá para deslocar esses dois coeficientes angulares para que fique apropriado para esta hipérbole aqui. Então se usar esta, vamos solucionar “y”. Eu sempre gosto de fazer quando estou fazendo o gráfico de uma hipérbole. A gente tem: "-y² sobre 4", subtraindo "x² sobre 16" dos dois lados, "-x² sobre 16 + 1". Estou trabalhando nesta hipérbole, não nesta, depois só vou deslocar. Digamos que multiplicamos os dois lados por -4. E tem “y²” que é igual a. Veja que o "menos" se cancela com isso, e tenho "4 sobre 16". "x² sobre 4 -4". “y” é igual a + ou - a raiz quadrada de (x² sobre 4) -4". Para determinar as assíntotas, só tem que pensar sobre o que acontece à medida que “x” se aproxima do positivo ou infinito negativo. À medida que “x” fica bem positivo ou “x” fica bem negativo, e já fizemos isso em um monte de vezes, é mais importante do que simplesmente memorizar a fórmula, porque te dá uma ideia de onde vieram essas equações para as retas das assíntotas porque elas são quanto este gráfico, ou esta equação, ou esta função se aproxima à medida de que “x” se aproxima de mais ou menos infinito. À medida que “x” se aproxima de mais ou menos infinito, “y” é igual a quanto, aproximadamente, neste caso? De novo, esse termo será dominante. Isto é apenas um 4 aqui. Dá para imaginar que quando “x” é 1 trilhão ou -1 trilhão, vai ser um número enorme, e será um valor irrelevante. Pega a raiz quadrada, então isto vai dominar à medida que se aproxima de "+ ou - infinito", “y” será, aproximadamente, igual a "+ ou - √x² sobre 4". “y” será, aproximadamente, igual a "+ ou - x sobre 2" ou "meio x". Vamos traçar assíntotas. Lembre-se de que estas são assíntotas para esta situação. E é claro, estamos centrados em (1,-1). Vou desenhar duas retas com esses coeficientes angulares e com os coeficientes angulares iguais a: "+ meio" e "- meio", mas eles estarão centrados nesse ponto, eu me desfiz do deslocamento para poder determinar as assíntotas, e é claro que isso é o que realmente estamos tentando fazer: o gráfico. Este é meu eixo “y”. E este é meu eixo “x”. E o centro está em (1, -1). “x = 1”, e “y = -1”. E os coeficientes angulares das assíntotas eram "+ e - meio". Vamos fazer o "+ meio". Isso significa que para cada dois que você passa, se andar dois na direção positiva de “x”, sobe 1 e anda 2 para direita e sobe 1. Essa é a primeira, vou desenhar esta assíntota. Fica mais ou menos assim, e eu vou desenhar desse ponto até esse ponto. Tem que ter a mão firme. E a outra assíntota terá coeficiente angular de "- meio". Lembre que este é o nosso centro: (1, -1). Então se eu descer 1, quando ando para direita 2, desço 1, então será bem aqui. Vou desenhar essa assíntota. E só para continuar na outra direção, quero que essas retas se sobreponham. Vai ficar mais ou menos assim. Traçamos as nossas assíntotas para esta função, e, agora, tem que determinar se será uma hipérbole vertical ou horizontal. E a maneira fácil de pensar nisso é tentar. Na real, dá para fazer de duas formas... Olhe para esta equação. Quando está tirando a raiz quadrada positiva, sempre estaremos um pouco abaixo da assíntota. A assíntota é aqui, mas sempre estaremos um pouco abaixo dela, o que nos diz que sempre estaremos um pouco abaixo da assíntota na raiz quadrada positiva. E sempre estaremos um pouco acima da assíntota na raiz quadrada negativa, porque será um pouco menos e é negativo. Minha intuição me diz que será aqui e aqui. Sei que estaremos um pouco abaixo do que a raiz quadrada negativa, mas eu vou fazer do outro jeito, vou fazer do jeito que eu fiz no último vídeo. A outra forma de pensar é o que acontece quando esse termo é zero? Para que esse termo seja zero, “x” tem que ser igual a 1. E isso acontece em algum momento? “x” pode ser igual a 1? Se “x = 1”, esse termo é zero. E você tem uma situação onde tem "-y² sobre 4" e teria que ser igual a 1 ou teria que ser um número negativo. “x” não pode ser igual a 1. “y” poderia ser igual a -1. Vamos tentar com isso. Se “y = -1”, esse termo desaparece quando “y = -1”, e só fica com "(x - 1)² sobre 16" que é igual a 1. Cancelei esse termo porque estou falando do que acontece quando “y = -1”. Você multiplica os dois lados por 16, e eu vou fazer do lado de cá, que fica um pouco bagunçado. "(x - 1)²= 16” Pegue raiz quadrada dos dois lados, "x - 1 = + ou - 4". Se “x = + 4”, se somar 1 a esse “x” seria igual a 5. E se "x - 1" for -4, você soma 1 e tem “x =3”. Os nossos dois pontos, ou os dois pontos mais próximos do nosso centro são os pontos: (5, -1). E o ponto (3, -1). Vamos colocar esses dois no gráfico 5 (1, 2, 3, 4, 5) e -1. 3 e -1. Tá certo? Ah, não. -3 porque "x - 1" poderia ser -4. Isso é o que acontece quando eu pulo umas etapas. Eu vou escrever. "x - 1 = 4” ou "x - 1 = -4”. Se tem uma situação de -4, então “x = -3”. Então, (1, 2, 3) -3 e -1. Esses são dois pontos desta hipérbole, e a nossa intuição estava certa. É o que eu disse: a raiz quadrada positiva estará sempre um pouco abaixo da assíntota. Então tem a nossa curva, e vai ficar mais ou menos assim. Vai ficar cada vez mais perto e vai ficar cada vez mais perto naquela direção. Vai ficando cada vez mais perto daquela assíntota, e aqui, cada vez mais perto da assíntota daquele lado, e depois, daquele lado. Lógico que estas assíntotas continuam para sempre. Se quiser, pode experimentar com outros pontos, e só para confirmar, pode marcar aquele ponto ali, ou aquele ponto ali, só para confirmar que está certo. A parte difícil é identificar as assíntotas e determinar se ficamos do lado esquerdo ou direito, e se ficamos em cima ou embaixo. E pronto, terminou. Pode fazer o gráfico da sua hipérbole. Até o próximo vídeo.