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Continuidade em um ponto

Dizer que uma função f é contínua quando x=c é o mesmo que dizer que os dois lados do limite da função em x=c existem e são iguais a f(c).

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RKA22JL - E aí, pessoal? Tudo bem? Nesta aula, vamos falar a respeito de continuidade em um ponto e vamos dar uma definição mais rigorosa para ela. Nós já vimos que quando estamos falando de continuidade, podemos ver uma ideia intuitiva utilizando uma caneta em um papel. Mas o que isso quer dizer? Vamos dizer que a tela do meu computador seja uma folha de papel e que eu posso colocar nela um plano cartesiano, eu posso colocar um “c” aqui, no eixo “x”, também, se eu conseguir desenhar o gráfico de minha função sem tirar a minha caneta do papel, então, nós temos uma continuidade. Basicamente, é isso. Eu tenho a minha caneta aqui e eu vou desenhando o gráfico, eu consigo passar pelo ponto sem retirar a caneta, portanto, eu posso dizer que essa função é contínua em “c”. E se eu tivesse uma função parecida com essa, só que uma parte dela vai somente até aqui e, de repente, tem um salto, continuando assim, nesse caso, não teria como desenhar o gráfico sem tirar a caneta do papel. Por exemplo, nós pegaríamos a caneta e desenharíamos o gráfico até aqui e, nessa parte, nós teríamos que retirar a caneta do papel e continuar aqui. Essa é uma ideia intuitiva de quando não temos uma continuidade. Mas o que vamos ver nessa aula é uma definição formal para a continuidade e, depois, vamos ver se isso é intuitivo. O que vamos fazer aqui é tentar definir continuidade em um ponto. Então, podemos dizer que a função “f” é contínua em “x” igual a “c”, se, e somente se, o limite de f(x), quando o “x” tende a “c”, ou seja, quando tende pela esquerda e pela direita, é igual a f(c). Isso aqui parece bem formal, mas vamos entender o que está escrito. Basicamente, isso significa dizer que se estamos nos aproximando da função pela esquerda ou pela direita, isso vai ser igual a “f”, no ponto. Vamos analisar alguns exemplos intuitivos para ver se entendemos isso. Vamos utilizar aquela ideia da caneta que eu disse no início da aula. Deixe-me colocar um plano cartesiano aqui e vou desenhar um gráfico aqui. Nós vamos ver se ele é contínuo em um ponto “c”. Esse aqui vai ser o gráfico da função “y” igual a f(x). E nós queremos analisar o comportamento da função nesse “c” aqui. Lembrando que aqui nós temos o eixo “x” e esse aqui é o eixo “y”, então, nós queremos saber qual é o comportamento da função quando “x” é igual a “c”. E utilizando a nossa caneta, fica bem evidente que conseguimos construir esse gráfico passando por “x” igual a “c” sem ter que retirá-la. Ou seja, a função parece contínua, não há salto, não há descontinuidade nesse ponto. Mas vamos analisar isso utilizando a definição de continuidade. Observe que quando a função vai se aproximando de “c” pela esquerda, ela vai se aproximando de f(c), que está bem aqui, esse é o f(c), e, quando nos aproximamos pela direita, a função também está se aproximando de f(c). Portanto, o limite de f(x), quando estamos nos aproximando pela esquerda e pela direita, é igual a f(c). Ou seja, o limite naquele ponto é igual à função naquele ponto. Portanto, esse gráfico é contínuo. Esse exemplo é bem legal, não é? Mas vamos ver mais alguns, onde temos de retirar a caneta do papel para continuar fazendo o nosso gráfico. Eu vou colocar aqui um outro plano cartesiano e nós vamos ver um exemplo do que chamamos de descontinuidade. Digamos que eu tenha um “c” no eixo “x” aqui e o gráfico dessa função vai ser mais ou menos assim, com uma interrupção em “x” igual a “c”. E, depois, continua. Isso porque o f(c) está mais ou menos aqui, esse é o f(c). E qual é o limite quando “x” se aproxima de “c”? Escrevendo isso aqui é o mesmo que ter o limite de f(x), quando “x” tende a “c”. Isso significa que estamos querendo saber qual é o valor que a função assume quando estamos nos aproximando pela esquerda desse ponto aqui ou quando nos aproximamos dele pela direita. Ou seja, parece que estamos nos aproximando desse valor. Esse limite eu vou chamar de “L”. Então, o limite de f(x), quando o “x” tende a “c”, é igual a “L”. Observe que “L” é diferente de f(c), e, da nossa definição, nós percebemos que essa função não é contínua nesse ponto. Ou seja, “f” não é contínua em “x” igual a “c”. Você pode até utilizar o teste da caneta que eu ensinei. Você pode começar desenhando sem retirar a caneta do papel e, chegando aqui, você teria que retirar a caneta para desenhar esse ponto. Logo depois, você continuaria a outra parte da função. Por isso, essa não é uma função contínua. Então essa função não é contínua. Vamos ver mais um exemplo? Eu vou colocar aqui um plano cartesiano e vamos ver um cenário onde o limite bilateral nem existe. Aqui, eu tenho o meu eixo “x” e meu eixo “y” e vamos dizer que o gráfico dessa função seja algo mais ou menos assim, depois continua aqui, e o nosso “x” igual a “c” está aqui, e o f(c) está aqui, esse é o f(c). Parece que o limite de f(x), quando “x” se aproxima pela esquerda, é igual a f(c). E se olharmos o limite da função f(x), quando o “x” está se aproximando pela direita, está se aproximando de um valor aqui, que eu vou chamar de “L”. Portanto, o limite de f(x), quando o “x” tende a “c”, pela direita, é igual a “L”, e “L” é diferente de f(c). Portanto, nessa situação, o limite bilateral nem existe. Quando isso acontece, a função também não é contínua. De novo, se nós quisermos ter uma ideia intuitiva do porquê essa função não é contínua, nós podemos utilizar a nossa caneta de novo. Se eu for desenhar esse gráfico, vou começar com a minha caneta aqui, desenhando sem tirar do papel, e eu vou desenhando. Chegando nesse ponto aqui, eu tenho que retirar a caneta do papel e continuar aqui. E toda vez que eu preciso retirar a caneta do papel para continuar desenhando a nossa função, nós não temos uma continuidade naquele ponto. Por isso, essa função não é contínua. Então, basicamente, se o limite bilateral não existe, essa função, pela definição, não vai ser contínua. E quando o limite é diferente do “f” naquele ponto, a função também não vai ser contínua. O único caso onde a função é contínua é quando os limites laterais são iguais à função naquele ponto. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês, e até a próxima, pessoal!