Limite de uma função trigonométrica usando a identidade do dobro do ângulo

RKA2G - Vamos supor que você queira tirar o limite desta função para θ tendendo a -π/4. Nós podemos escrever esta função da seguinte forma: o limite de θ tendendo a -π/4 de 1 mais a raiz quadrada de 2 seno de θ, sobre o limite de θ tendendo a -π/4 de cosseno de 2θ. No numerador, vamos ficar com: 1 mais a raiz quadrada de 2 vezes o seno de -π/4, sobre o cosseno de 2 vezes -π/4. Ou seja, no numerador, -π/4, ou melhor, o seno de -π/4, vai ser menos a raiz de 2/2. Menos a raiz de 2/2 vezes 2 fica -2/2, que é -1. Então, vamos ter, no numerador, 1 - 1, que vai ser igual a zero. E, no denominador, nós temos 2 vezes -π/4, o que vai ser o cosseno de -π/2, e cosseno de -π/2 é zero. Ficamos com 0/0, que é um fator de indeterminação. Por esse caminho, nós não chegamos a um resultado. O que podemos fazer? Nós podemos fazer o seguinte: para θ diferente de -π/4, nós podemos pegar uma expressão que seja equivalente a esta. Ou seja, uma função igual, mas para θ diferente de -π/4. Então, esta expressão fica como? Nós temos 1 mais a raiz quadrada de 2 seno de θ e, embaixo, nós temos o cosseno de 2θ. Nós temos uma identidade trigonométrica que nos diz que o cosseno de 2θ pode ser escrito como o cosseno ao quadrado de θ, menos o seno ao quadrado de θ. Pela identidade trigonométrica, se o cosseno ao quadrado de θ mais o seno ao quadrado de θ é igual a 1, nós podemos substituir esta expressão por 1 menos o seno ao quadrado de θ, menos o seno ao quadrado de θ. E vamos ficar com 1 menos 2 seno ao quadrado de θ. Esta expressão nós podemos escrever como o produto da soma pela diferença. Ou seja, 1 menos a raiz de 2 seno de θ, vezes 1 mais a raiz de 2 seno de θ. E vai ser bastante útil, ou seja, aqui nós temos 1 mais a raiz de 2 seno de θ e, no denominador, em vez de colocarmos cosseno de 2θ, colocamos como 1 menos a raiz de 2 seno de θ, vezes 1 mais a raiz de 2 seno de θ. E agora nós podemos simplificar, lembrando que só podemos simplificar para θ diferente de -π/4. Ou seja, esta expressão fica: 1 sobre 1 menos a raiz de 2 seno de θ. Então, vamos ter o seguinte limite: 1 sobre 1 menos a raiz de 2 seno de θ para θ tendendo a -π/4. Lembre-se que esta função é igual a esta função para θ diferente de -π/4. Então, neste limite, nós vamos ter: 1 sobre 1 menos a raiz de 2 vezes o seno de -π/4. Nós vamos ter 1 sobre 1 menos a raiz de 2 vezes... Seno de -π/4 vai dar menos a raiz de 2/2. Nós temos... Menos com menos vai dar mais, vamos ter raiz de 2 vezes raiz de 2, que vai dar 2, sobre 2 dá 1. Vamos ter, no denominador, 1 + 1, ou seja, este limite vai tender para 1/2. Este é o limite que nós estamos procurando. Nós fizemos com que esta função fosse igual a esta, mas com a restrição que ela não pode ser igual a -π/4. Ou seja, em outras palavras, podemos escrever o seguinte: f(x) é igual a g(x) para um determinado "x" diferente de "a". Isso implica dizer que o limite de f(x), para "x" tendendo a "a", vai ser igual ao limite de g(x) para "x" tendendo a "a". E é importante perceber que esta função não pode ter o valor de "x" igual a "a". O "x" tem que ser diferente de "a". "x" sendo diferente de "a", esta função vai ser igual a esta. Neste caso, nós não encontramos o limite. Ele ficou sendo inexistente. Mas, manipulando esta função e colocando outra, que seja igual a ela, mas para um valor diferente de -π/4, nós encontramos o limite da função, que é o limite desta função inicial. As duas funções são iguais para θ diferente de -π/4.