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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 10
Lição 8: Como determinar limites usando o teorema do confrontoIntrodução ao teorema do confronto
O teorema do confronto (ou teorema do sanduíche) estabelece que se f(x)≤g(x)≤h(x) para todos os números, e existe um ponto x=k em que f(k)=h(k), então g(k) deve ser igual a eles. Podemos usar o teorema para encontrar limites difíceis como sen(x)/x em x=0 "comprimindo" sen(x)/x entre duas funções mais fáceis e usando-as para encontrar o limite em x=0;. Versão original criada por Sal Khan.
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- esta aula só possui em ingles?(2 votos)
- Oi, adoro esta plataforma, estou entendendo muito do que não havia entendido nas aulas e livros de calculo. Mas confesso que ainda não sei como e quando aplicar o teorema do Confronto, mesmo tendo entendido como comparar os gráfico. Podem fazer mais uma explicação e mais exercícios sobre esse teorema? Obrigada.(2 votos)
- É obrigado que f(x)<g(x)<h(x) para todos os valores de x? Ou apenas no intervalo próximo ao limite?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos estudar um dos meus teoremas
favoritos na matemática que é o teorema do confronto. E a razão para isso é porque
tem a palavra confronto, algo que não costuma aparecer
muito na matemática, não é? E este nome é bastante apropriado. Outro nome que damos
para este teorema é o teorema do sanduíche. E eu já vou explicar o porquê
deste nome ser muito legal. Mas, antes disso, eu vou
fazer uma analogia. Digamos que existem 3 pessoas: a Larissa, o Pedro e a Sabrina. E, em qualquer dia, a Larissa sempre consome a
menor quantidade de calorias. E, em qualquer dia, a Sabrina sempre consome
o maior número de calorias. Então, em um dado dia, sempre podemos afirmar que a Sabrina
come pelo menos o quanto do Pedro, e que o Pedro come pelo menos
a mesma quantidade que a Larissa. Então, em qualquer dia, nós podemos afirmar que Pedro come
pelo menos a quantidade da Larissa, enquanto a Sabrina come pelo menos
a quantidade de Pedro. E para entender
isso melhor, nós podemos construir uma inequação. Nós podemos colocar que
as calorias da Larissa vão ser menores ou iguais às calorias
do Pedro em um determinado dia, que vão ser menores ou iguais
às calorias da Sabrina neste mesmo dia. Por exemplo, vamos dizer
que seja terça-feira e você descobre que a Larissa
consumiu 1.500 calorias, e a Sabrina consumiu 1.500 calorias
na terça-feira também. A minha pergunta é, quantas calorias o Pedro
consumiu neste dia? Note que ele come pelo menos
a mesma quantidade da Larissa. Isso significa que ele comeu
1.500 calorias ou mais. Ele sempre come menos quantidade
do que a Sabrina, então, deve ser algo menor
do que 1.500 calorias. E só existe um número que está
dentro deste intervalo, que é o próprio 1.500. Então, o Pedro consumiu 1.500 calorias. Este é o teorema do confronto. Ou seja, você pode ver as calorias
da Larissa como uma função do dia, e as calorias da Sabrina como
uma função do dia. E essa função do meio sempre
vai estar entre essas duas. Agora, vamos a entender isso
com um pouco mais de matemática, não é? Vamos ver com um pouco
mais de rigor matemático. Então, deixe-me apagar isso aqui. Então, você tem uma função f(x)
em um intervalo, que é menor ou igual
a uma função g(x) neste mesmo intervalo, que é menor ou igual
a uma função h(x) neste mesmo intervalo. E para entender isso,
eu posso representar graficamente. Então, deixe-me colocar aqui
um plano cartesiano com o meu eixo "x" e o meu eixo "y". E vamos dizer que a função h(x) esteja,
mais ou menos, aqui. Esta é h(x). E a função f(x) é algo,
mais ou menos, assim. Vai subindo, quase toca em h(x)
e, depois, desce. Aqui a função f(x). E para qualquer valor de "x", a função g(x) sempre vai
estar entre h(x) e f(x). Algo, mais ou menos, assim. Ou seja, vai ter um confronto. E uma outra analogia
para você entender isso é como se f(x) e h(x) fossem dois pães, e g(x) fosse a carne do hambúrguer. E, de novo, pensando nas
pessoas do exemplo anterior, vamos dizer que, em um determinado dia, a Larissa e a Sabrina comam
a mesma quantidade. Vamos dizer que seja para
um valor particular aqui de "x", o limite de f(x) e de h(x) quando se aproxima deste
valor, vai ser o mesmo. Ou seja, vamos dizer que aqui
nós temos o valor de "x = c". E digamos que o limite de f(x), quando "x" tende a "c" é igual a "L". Então, é igual a "L". E que o limite de h(x)
quando "x" se aproxima de "c", também é igual a "L". Ou seja, se isso tudo aqui é verdadeiro, se "x" está de fato definido em "c", se estes limites realmente existem, então, nós podemos dizer que
o limite de g(x) quando "x" tende a "c" também é igual a "L". Você pode observar isso graficamente. À medida que você está
se aproximando de "c", a função f(x) vai se aproximando de "L". E o mesmo acontece com h(x), e g(x) está dentro no sanduíche, está dentro das duas funções. Por isso, ela também
vai se aproximar de "L". E essa é aquela hora que você
deve estar se perguntando, em que isso vai ser útil? Simples, isso vai te ajudar a encontrar
limites de funções mais complexas. Se você encontrar o limite de uma
função que é sempre maior que ela, e uma função menor do que ela, você vai conseguir encontrar
o limite daquela função sem necessariamente utilizá-la. Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!