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Remoção de descontinuidades (por racionalização)

Neste vídeo, determinamos o valor que a função f(x)=(√(x+4)-3)/(x-5) deve ter em x=5 para que ela seja contínua nesse ponto. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA14C "Seja f uma função dada por..." Aqui nós temos uma função f(x), sendo igual a: √x+4 - 3 sobre x - 5 se x ≠ 5. Essa função f(x) vai ser igual a c se x = 5. Se f é contínua para x = 5, qual é o valor de c? Bem, o que nós temos aqui é um caso em que precisamos determinar esse valor de c, quando x = 5, para que essa função f seja contínua para esse x = 5. A primeira pergunta que nós precisamos fazer aqui é: qual é a condição necessária para que essa função seja contínua quando x = 5? A condição necessária para uma função ser contínua é quando o limite, com x tendendo a um número, que, neste caso, é 5, dessa função f(x) for igual à função f(x) nesse ponto x = 5. Um detalhe interessante é que essa função, quando x = 5, é igual a c. Então, nós temos que essa função f(x), quando x = 5, é igual a c. Certo? Então, o que nós precisamos fazer é determinar esse lim f(x) para o x = 5, e que esse limite vai ser igual a c. Assim, nós vamos encontrar esse valor de c, para que essa função seja contínua quando x = 5. Então, vamos lá! Vamos fazer isso. Vamos calcular esse limite com x tendo a 5 para o f(x). Bem, como é o x tendendo a 5, ou seja, não é igual a 5, a gente vai usar essa expressão aqui de cima, e calcular o limite dessa função. Afinal de contas, essa função é igual a essa expressão quando x ≠ 5. Agora, nós só temos um pequeno problema aqui. Nós poderíamos substituir o 5 aqui no lugar do x, e tentar resolver. Mas vamos ter aqui uma √5+4... 5 + 4 = 9. √9 = 3. 3 - 3 = 0. Se eu substituir o 5 aqui embaixo, eu vou ter 5 - 5 no denominador. 5 - 5 = 0. Então, eu vou ter 0/0, que é uma indeterminação. Então, eu não posso substituir esse valor direto nessa expressão porque a gente chega a essa indeterminação. Mais à frente, eu vou te mostrar uma técnica muito interessante, chamada regra de L'Hôpital, que permite que a gente consiga determinar o limite quando há uma indeterminação nesse caso de uma forma muito fácil, de uma forma muito mais rápida e prática. Mas, neste vídeo, quero te mostrar como você pode encontrar esse limite, no caso de uma indeterminação, utilizando uma álgebra mais clássica, uma álgebra do ensino médio. Então, vamos lá. A primeira coisa que precisamos fazer aqui é encontrar uma forma de tirar essa indeterminação, fazer essa expressão se tornar determinada. Para fazer isso, vou repetir a expressão. Vamos ter aqui: √x+4 - 3, isso sobre x - 5, certo? O que nós podemos fazer aqui é encontrar uma forma de racionalizar isso. E uma forma interessante de racionalizar isso é observar esta expressão aqui, e perceber que temos uma diferença, certo? O que poderíamos fazer, então, é multiplicar aqui em cima no numerador por algo muito parecido com isso. Colocando essa √x+4, só que em vez de colocar -3, colocar +3. Então, eu multiplico isso por √x+4... Em vez de -3, +3. Como multiplicamos por esta expressão aqui, para toda a expressão continuar sendo a mesma, precisamos também multiplicar por isto aqui no denominador. Então, a gente vem aqui e coloca: √x+4 + 3. Vamos colocar esses parênteses aqui, só para deixar tudo mais organizado. Agora, podemos multiplicar esta primeira parte aqui por esta outra aqui em cima. Todas as vezes em que temos uma multiplicação dessa forma, com os termos sendo iguais, porém, tendo uma diferença aqui e tendo uma soma aqui, isso aqui ficaria igual a este primeiro termo elevado ao quadrado, ou seja, (√x+4)². (√x+4)² = x + 4. E colocamos menos o segundo termo ao quadrado. Então, (-3)². (-3)² = 9. Então, estamos começando a utilizar uma técnica de racionalização para conseguir resolver esse limite. Vamos repetir a parte que está aqui no denominador. Temos aqui: (x - 5) vezes (√x+4 + 3). OK, podemos resolver esta parte de cima, certo? x + 4 - 9... 4 - 9 = -5. Então, vamos ter x - 5 sobre tudo isso que já está embaixo ali: (x - 5) vezes (√x + 4 + 3). Como temos aqui no numerador x - 5 e aqui no denominador também, podemos anular esses dois, afinal de contas, este dividido por este é igual a 1, certo? Então, vamos ter aqui algo igual a 1 sobre toda esta parte aqui, √x+4 + 3. Isso, claro, para x ≠ 5. Então, toda esta expressão é a mesma coisa que isto aqui. A única diferença é que utilizamos uma técnica de racionalização para mudar esses termos e deixar o limite possível de ser resolvido. Ou seja, tirar essa indeterminação daqui. Tanto que, se substituirmos agora aquilo por 5, vamos ter: √5+4 + 3, e isso não vai ser algo indeterminado. Vamos fazer isso, vamos substituir esta expressão aqui por essa expressão que acabamos de encontrar: 1 / √x+4 + 3. Vamos fazer isso. Vamos calcular o limite dessa função utilizando essa nova expressão. Então, vamos ter lim x → 5 de 1 / √x+4 + 3. Isso vai ser igual... Como eu já disse, substituindo o 5 aqui, vamos ter √5+4. 5 + 4 = 9. √9 = 3. Somando este 3 com este 3, teremos 6. Ou seja, o limite dessa função quando x → 5 vai ser igual a 1/6. Esse é o valor de c. Então, para que a função seja contínua quando x = 5, é necessário que c = 1/6.