Soma e subtração de matrizes

RKA18MP - Vamos pensar sobre como podemos definir a adição de matrizes. Os matemáticos poderiam ter escolhido qualquer uma das várias formas arbitrárias para definir a adição, mas escolheram uma maneira que parece fazer sentido para definir a adição, e ela também tem propriedades que nos permitiram fazer coisas interessantes. Assim, se vocês fossem um daqueles matemáticos e estivessem definindo como as matrizes deveriam ser somadas, como definiriam a soma dessa primeira matriz com esta segunda? A coisa mais sensata que chamou a atenção, especialmente porque essas duas matrizes têm as mesmas dimensões, é uma matriz de 2 por 3, elas têm 2 linhas e 3 colunas. simplesmente é somar as entradas correspondentes. E se esta foi sua intuição, então teve a mesma intuição dos matemáticos, que a adição de matrizes deveria ser a soma das entradas correspondentes. Então, nessa situação, somamos 1 + 5 para obter a entrada correspondente na soma, que é 6. Vamos somar -7 + 0, que é -7. Vamos somar 5 + 3 e obtemos 8, e as cores estão acabando aqui. Vamos somar 0 + 11, que dá: 11. Somamos 3 mais -1 para obter 2 e somamos -10 com 7 para obter -3. E vendo essa definição da adição de matrizes, vocês veem que, na verdade, não importa em que ordem somamos essas matrizes, eu poderia ter feito de outro jeito. Se eu tivesse feito do outro jeito, vou copiar e colar essa matriz... Se fosse somar essa matriz, se fosse somá-la desta forma, vamos copiar essa aqui também, copiar e colar. Se eu somar nesta ordem, vocês vão ver que a ordem na qual somo as matrizes não importa porque é como somar números. "a + b" é a mesma coisa que "b + a". O que veremos é que não será verdadeiro para todas as operações com matrizes que estudamos. Especificamente, isto não será verdadeiro para a multiplicação de matrizes. Mas, se somarem essas duas coisas usando a definição que acabamos de ver e somar os termos correspondentes, vão obter o mesmo resultado. Aqui, a gente somou 1 + 5 e obtivemos 6. Aqui vamos somar 5 + 1 e obteríamos 6 também. O resultado seria o mesmo. Aqui, tínhamos 0 + -7, a soma dá: -7. A gente vai obter exatamente o mesmo que aqui em cima, portanto quando somamos matrizes, se chamar essa matriz aqui em cima de matriz A, que, normalmente, a gente denota com uma letra maiúscula e em negrito, e chamar essa matriz de B, e somar "A + B", que é essa coisa logo aqui, a gente vê que ela é exatamente a mesma coisa que a matriz B somada à matriz A. Agora, uma pergunta interessante: o que aconteceria se eu quisesse subtrair as matrizes? Mais uma vez, é legal pensar sobre matrizes que têm as mesmas dimensões. Digamos que eu tenha duas matrizes de 2 por 2 e suas entradas são 0, 1, 3, 2 e, disso, quero subtrair -1, 3, 0 e 5. Então, podem dizer que talvez só tenhamos que subtrair as entradas correspondentes, e é assim, na verdade, que dá pra definir a subtração de matrizes. Na verdade, não precisa definir a subtração de matrizes, pode usar o que aprendemos com a multiplicação escalar e a adição de matrizes. A gente poderia ver exatamente como a mesma coisa que pegar 0, 1, 3, 2 e somar a eles -1 vezes -1, 3, 0, 5. E se fizerem os cálculos, vão obter exatamente o mesmo resultado que na subtração dos termos correspondentes. Então, isso vai ser... O que vai ser? Zero menos -1 é +1. 1 menos 3 é -2. 3 menos zero é 3. 2 menos 5 é -3. E veem que obtivemos exatamente a mesma coisa que aqui em cima, quando multiplicam o -1 vezes -1 e obtêm 1. +1 mais 0 é 1. -1 vezes 3 é -3. -3 mais 1 é -2. Pronto. Talvez estejam começando a ter uma dúvida agora. Tudo bem, eu entendo. Quando estamos somando ou subtraindo matrizes com as mesmas dimensões, a gente só soma ou subtrai os termos correspondentes. Mas, o que acontece quando tem matrizes com dimensões diferentes? Por exemplo, o que aconteceria se eu quisesse somar à matriz 1, 0, 3, 5, 0, 1 com a matriz... Essa é uma matriz de 3x2, e quero somar com a matriz de 2x2: 5, 7, -1, 0. Como a gente definiria isso? A verdade é que a classe matemática não define isto. Isto é indefinido. Portanto, não definimos adição de matrizes ou subtração de matrizes quando as matrizes têm dimensões diferentes. Não parece haver nenhuma maneira razoável de fazer isso, que seria, na verdade, útil e logicamente consistente.