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Conteúdo principal

Matrizes vistas como transformações

Aprenda exatamente como matrizes 2x2 atuam como transformações do plano.

Introdução

Pensar nas matrizes como transformações do espaço pode levar a uma melhor compreensão das operações matriciais. Esse ponto de vista ajuda a explicar como definimos operações matriciais como a multiplicação e nos dá uma boa desculpa para desenhar algumas figuras. Esse material aborda a álgebra linear (geralmente, um tópico do ensino superior).

A multiplicação como uma transformação

Inicialmente, a ideia de uma "transformação" pode parecer mais complicada do que realmente é; então, antes de nos aprofundarmos no modo como matrizes 2×2 se transformam em um espaço bidimensional, ou como matrizes 3×3 se transformam em um espaço tridimensional, vamos ver como os bons e velhos números simples (também conhecidos como matrizes 1×1) podem ser considerados transformações de espaço unidimensional.
O "espaço unidimensional" é simplesmente uma reta numérica.
Reta numérica
O que acontece quando você multiplica todos os números da reta por um valor específico, como 2 por exemplo? Uma maneira de ver isso é assim:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Mantemos uma cópia da reta original para servir de referência e, em seguida, arrastamos cada um dos números da reta para a posição que é 2 vezes aquele número.
Da mesma forma, a multiplicação por 12 poderia ser vista assim:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
E, para que os números negativos não se sintam negligenciados, temos aqui a multiplicação por 3:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Para aqueles que gostam de terminologia sofisticada, essas ações animadas podem ser descritas como "transformações lineares de espaço unidimensional". A palavra "transformação" significa o mesmo que "função": algo que insere um número e produz um número, como f(x)=2x. No entanto, enquanto normalmente vemos funções com seus gráficos, as pessoas tendem a usar a palavra "transformação" para indicar que, ao invés disso, você deve visualizar algum objeto em movimento, se estendendo, encolhendo, etc. Então, a função f(x)=2x vista como uma transformação resulta no vídeo "Multiplicação por 2" mostrado acima. Ela move o ponto 1 na reta numérica para onde inicialmente estava o 2, move o 2 para onde inicialmente estava o 4, etc.
Antes de prosseguirmos para o espaço bidimensional, há um fato simples, mas importante, que devemos manter em mente. Suponha que você veja uma dessas transformações, sabendo que ela é uma multiplicação por algum número, mas sem saber qual número é esse, assim:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Você pode descobrir qual número está sendo multiplicado na reta por seguindo 1. Nesse caso, 1 ficará onde 3 começou, então é possível afirmar que a animação representa uma multiplicação por 3.

Com o que transformações lineares em duas dimensões se parecem?

Uma transformação linear bidimensional é um tipo especial de função que insere um vetor bidimensional [xy] e resulta em outro vetor bidimensional. Assim como anteriormente, nosso uso da palavra "transformação" indica que devemos pensar em algo como contraindo alguma coisa, o que neste caso é o espaço bidimensional. Aqui estão alguns exemplos:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Para nossos propósitos, o que faz com que uma transformação seja considerada linear é a seguinte regra geométrica: a origem deve permanecer fixa e todas as retas devem permanecer retas. Então, todas as transformações na animação acima são exemplos de transformação linear, mas as transformações a seguir não são:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Invólucro do vídeo da Khan Academy

Seguindo vetores específicos durante uma transformação

Imagine que você está assistindo a uma transformação em particular, como esta
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Como você poderia descrever isso a um amigo que não estivesse vendo a essa mesma animação? Você já não pode descrevê-la usando um único número; pode apenas seguir o número 1 no caso unidimensional. Para ajudar a manter o controle de tudo, vamos colocar uma seta verde sobre o vetor [10], uma seta vermelha sobre o vetor [01], e colocar uma cópia da grade no fundo.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Agora fica muito mais fácil ver onde as coisas vão ficar. Por exemplo, se assistirmos à animação novamente, e focarmos no vetor [11], poderemos segui-lo mais facilmente de modo a ver que ele vai parar no vetor [42].
Podemos representar este fato com a notação a seguir:
[11][42]
Problema para prática: onde o ponto [10] termina depois que o plano sofre a transformação mostrada no vídeo acima?
Escolha 1 resposta:

Problema para prática: embora ele tenha ido para fora da tela, você consegue prever onde o ponto [30] terminou?
Escolha 1 resposta:

Observe que, um vetor como [20], que se inicia como 2 vezes a seta verde, continua a ser 2 vezes a reta verde depois da transformação. Como a reta verde está em [12], podemos deduzir que
[20]2[12]=[24].
E, em geral,
[x0]=x[10]x[12]=[x2x]
Da mesma forma, o destino do eixo y inteiro é determinado por onde a seta vermelha [01] vai parar; que, para esta transformação, é [30].
Problema para prática: depois que o plano sofre a transformação ilustrada acima, onde o ponto geral [0y] no eixo y termina?
Escolha 1 resposta:

Na verdade, como sabemos onde [10] e [01] vão parar, podemos deduzir onde todos os pontos no plano devem ir. Por exemplo, vamos seguir o ponto [12] em nossa animação:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Ele se inicia em 1 vezes a seta verde mais 2 vezes a seta vermelha, mas também termina em 1 vezes a seta verde mais 2 vezes a seta vermelha, o que, após a transformação, significa
1[12]+2[30]=[52]
Essa capacidade de dividir um vetor em função de seus componentes tanto antes quanto depois da transformação é o que há de tão especial nas transformações lineares.
Problema para prática: Use essa mesma tática para calcular onde o vetor [11] termina.
Escolha 1 resposta:

Representação de transformações lineares bidimensionais com matrizes

Em geral, como cada vetor [xy] pode ser quebrado em
[xy]=x[10]+y[01]
Se a seta verde [10] vai para algum vetor [ac], e a seta vermelha [01] vai para em algum vetor [bd], então o vetor [xy] deve ficar em
x[ac]+y[bd]=[ax+bycx+dy]
Uma forma muito boa de se descrever tudo isso é representando uma determinada transformação linear com a matriz
A=[abcd]
na qual a primeira coluna nos indica onde [10] vai parar e a segunda coluna nos indica onde [01] vai parar. Agora, podemos descrever muito resumidamente onde qualquer vetor v=[xy] vai parar como o produto matriz-vetor
Av=[ax+bycx+dy]
Na verdade, é daí que vem a definição de um produto matriz-vetor.
Assim, da mesma forma que transformações lineares unidimensionais podem ser descritas como uma multiplicação por algum número, ou seja, por qualquer número em que o 1 apareça em cima, transformações lineares bidimensionais sempre podem ser descritas por uma matriz 2×2, ou seja, por aquela cuja primeira coluna indica onde [10] vai parar, e cuja segunda coluna indica onde [01] vai parar.

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  • Avatar leafers sapling style do usuário Raniere S
    Por mais que eu tenha me esforçado, não entendo bem o que está sendo descrito neste artigo. Em especial o vídeo (https://www.youtube.com/watch?v=gNMGlQ62MBY) onde é sugerido seguir um ponto durante uma transformação linear. Eu posso segui-lo e até entendo matematicamente o que é dito aqui: −1⋅[1−2​]+2⋅[30​]=[52​] (Nota: ao copiar e colar a matriz, a cola não corresponde a matriz)
    Mas ainda assim, o artigo me parece complexo demais e não consigo seguir nos "Problema para prática" - eu errei 90% deles. E neste após o vídeo acima onde diz: "Use essa mesma tática para calcular onde o vetor [1−1] termina."(Nota: ao copiar e colar a matriz, a cola não corresponde a matriz) eu não pude nem formular uma maneira de começar.
    Penso que talvez os vídeos possam receber mais informações sobre o processo que ocorre no próprio vídeo. Talvez isso ajude no entendimento. Por exemplo: durante a execução do vídeo acima talvez seja relevante, que, ao lado, em um quadro, seja mostrado, em tempo real, enquanto a ação no vídeo é executada, uma matriz equivalente a cada instante de posição dos vetores. Sei que isso parece complexo para fazer, mas imagino que seria mais fácil entender a relação entre vetores se transformando e a matriz equivalente.
    Uma outra opção pode ser uma vídeo aula sobre o assunto.
    (6 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
  • Avatar blobby green style do usuário fagner.ol
    Rapá, depois de muito ler e reler entendi onde querem chegar.
    A gente tem que saber onde os vetores (1,0) e (0,1) foram parar depois da transformação.

    Com estes novos pontos bases a gente pode calcular qualquer vetor depois de aplicada a mesma transformação.

    O texto está pessimamente mal traduzido.
    (5 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
  • Avatar orange juice squid orange style do usuário A&A
    Esse artigo tá complicado demais, tem muitas frases e palavras traduzidas ao pé da letra.
    (3 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
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