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Curso: Pré-cálculo > Unidade 7

Lição 10: Como multiplicar matrizes por matrizes

Introdução à multiplicação de matrizes
Multiplicação de matrizes
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Como multiplicar matrizes por matrizes

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Multiplicação de matrizes

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Quando multiplicamos uma matriz por uma grandeza escalar (ou seja, um único número), nós simplesmente multiplicamos todos os termos da matriz por essa grandeza escalar. Também podemos multiplicar uma matriz por outra matriz, mas esse processo é mais complicado. Ainda assim, é muito bonito e interessante. Este artigo te ensina a fazer isso.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma matriz é um conjunto retangular de números organizados em linhas e colunas. Cada número de uma matriz leva o nome de elemento ou entrada.

Por exemplo, a matriz

A

‍ tem

2

‍ linhas e

3

‍ colunas. O elemento

a_{2, 1}

‍ está localizado na

2^{a} linha

‍ e na

1^{a} coluna

‍ da matriz

A

‍, ou seja, é o

5

‍.

Se isso for novidade para você, recomendamos que você confira nossa introdução às matrizes. Você também deve ter certeza de que sabe como multiplicar uma matriz por um escalar.

O que você vai aprender nessa lição

Como calcular o produto de duas matrizes. Por exemplo, calcule

[\begin{array}{rr} 1 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{rr} 3 & 3 \\ 5 & 2 \end{array}]

‍

Multiplicação escalar e multiplicação de matrizes

Quando trabalhamos matrizes, chamamos os números reais de escalares.

\begin{aligned} 2 \cdot [\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] & = [\begin{array}{cc} 2 \cdot 5 & 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{cc} 10 & 4 \\ 6 & 2 \end{array}] \end{aligned}

‍

O termo multiplicação escalar refere-se ao produto de um número real com uma matriz. Em multiplicações escalares, cada elemento da matriz é multiplicado pelo escalar determinado.

Por outro lado, o termo multiplicação de matrizes refere-se ao produto de duas matrizes. Esta operação é completamente diferente da anterior. É mais complicada, mas também é mais interessante! Vamos ver como se faz.

Entender como encontrar o produto escalar de duas listas de números ordenadas nos ajudará tremendamente nesta tarefa, então, vamos aprender um pouco mais sobre isto.

Ênuplas e o produto escalar

Já conhecemos os pares ordenados, por exemplo

(2, 5)

‍ e até os trios ordenados, como

(3, 1, 8)

‍.

Uma ênupla é a generalização desse conceito. É uma lista ordenada de

n

‍ números.

Podemos calcular o produto escalar de duas ênuplas de comprimento igual somando os produtos de seus elementos correspondentes.

Por exemplo, para calcular o produto escalar de dois pares ordenados, multiplicamos as primeiras coordenadas e as segundas coordenadas e somamos os resultados.

\begin{aligned} (2, 5) \cdot (3, 1) & = 2 \cdot 3 + 5 \cdot 1 \\ = 6 + 5 \\ = 11 \end{aligned}

‍

Ênuplas ordenadas frequentemente são indicadas por uma variável com uma seta no topo. Por exemplo, podemos ter

\vec{a} = (3, 1, 8)

‍ e

\vec{b} = (4, 2, 3)

‍. A expressão

\vec{a} \cdot \vec{b}

‍ indica que o produto escalar desses dois trios ordenados pode ser calculada assim:

\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} & = (3, 1, 8) \cdot (4, 2, 3) \\ = 3 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 8 \cdot 3 \\ = 12 + 2 + 24 \\ = 38 \end{aligned}

‍

Observe que o produto escalar de duas ênuplas de comprimento igual será sempre um único número real.

Teste seu conhecimento

1) Sejam $\vec{c} = (4, 3)$ ‍ e $\vec{d} = (3, 5)$ ‍.

\vec{c} \cdot \vec{d} =

‍

Sua resposta deve ser
um número inteiro, como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍
um número misto, como $1 3 / 4$ ‍
um número decimal exato, como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

2) Sejam $\vec{m} = (2, 5, - 2)$ ‍ e $\vec{n} = (1, 8, - 3)$ ‍.

\vec{m} \cdot \vec{n} =

‍

Sua resposta deve ser
um número inteiro, como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍
um número misto, como $1 3 / 4$ ‍
um número decimal exato, como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

Matrizes e ênuplas

Ao multiplicar matrizes, podemos considerar cada linha e coluna da matriz como uma ênupla.

\begin{array}{rccc} \vec{c_{1}} & \vec{c_{2}} \\ ↓ & ↓ \\ \begin{array}{c} \vec{l_{1}} \to \\ \vec{l_{2}} \to \end{array} & [\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} & \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}] \end{array}

‍

Nessa matriz, a linha

1

‍ é denotada por

\vec{l_{1}} = (6, 2)

‍ e a linha

2

‍ é denotada por

\vec{l_{2}} = (4, 3)

‍.

Analogamente, a coluna

1

‍ é denotada por

\vec{c_{1}} = (6, 4)

‍ e a coluna

2

‍ é denotada por

\vec{c_{2}} = (2, 3)

‍.

Teste seu conhecimento

\begin{array}{rccc} \vec{c_{1}} & \vec{c_{2}} & \vec{c_{3}} \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ \begin{array}{c} \vec{l_{1}} \to \\ \vec{l_{2}} \to \\ \vec{l_{3}} \to \end{array} & [\begin{matrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 4 \end{matrix}] \end{array}

‍

3) Quais das seguintes triplas ordenadas é $\vec{c_{2}}$ ‍?

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
$(6, 3, 7)$ ‍
(Escolha B)
$(3, 3, 1)$ ‍

Multiplicação de matrizes

Agora, estamos prontos para examinar um exemplo de multiplicação de matrizes.

Dadas

A = [\begin{array}{rr} 1 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}]

‍ e

B = [\begin{array}{rr} 3 & 3 \\ 5 & 2 \end{array}]

‍, vamos calcular a matriz

C = A B

‍.

Para nos ajudar a compreender, vamos rotular as linhas na matriz

A

‍ e as colunas na matriz

B

‍. Podemos definir o produto das matrizes, matriz

C

‍, como mostrado abaixo.

\begin{array}{ccccccccc} \vec{b_{1}} & \vec{b_{2}} \\ ↓ & ↓ \\ \begin{matrix} \vec{a_{1}} \to \\ \vec{a_{2}} \to \end{matrix} & [\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} & \begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}] & \cdot & [\begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}] & = & [\begin{matrix} \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{1}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{1}} \end{matrix} & \begin{matrix} \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{2}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{2}} \end{matrix}] \\ A & B & C \end{array}

‍

Note que cada entrada na matriz

C

‍ é o produto escalar entre uma linha na matriz

A

‍ e uma coluna na matriz

B

‍. Mais especificamente, a entrada

c_{i, j}

‍ é o produto escalar entre

\vec{a_{i}}

‍ e

\vec{b_{j}}

‍.

Por exemplo,

c_{1, 2}

‍ é o produto escalar de

\vec{a_{1}}

‍ e

\vec{b_{2}}

‍.

\begin{array}{ccccc} [\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} & \begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}] & \cdot & [\begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} & \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}] & = & [\begin{matrix} \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{1}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{1}} \end{matrix} & \begin{matrix} 17 \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{2}} \end{matrix}] \end{array}

‍

[Gostaríamos de ver os cálculos, por favor!]

Podemos completar os produtos escalares para encontrar a matriz produto completa:

C = [\begin{array}{rr} 38 & 17 \\ 26 & 14 \end{array}]

‍

[Gostaríamos de ver os produtos escalares, por favor!]

Teste seu conhecimento

C = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{array}]

‍ e

D = [\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 3 & 6 \end{array}]

‍.

Seja

F = C \cdot D

‍.

a) Quais dos seguintes números é $f_{2, 1}$ ‍?

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
$9$ ‍
(Escolha B)
$11$ ‍
(Escolha C)
$15$ ‍
(Escolha D)
$32$ ‍

b) Calcule $F$ ‍.

F =

‍

X = [\begin{array}{rr} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}]

‍ e

Y = [\begin{array}{rrr} 2 & 8 \\ 5 & 4 \end{array}]

‍.

Calcule $Z = X \cdot Y$ ‍.

Z =

‍

M = [\begin{array}{rrr} 2 & 8 & 3 \\ 5 & 4 & 1 \end{array}]

‍ e

N = [\begin{array}{rr} 4 & 1 \\ 6 & 3 \\ 2 & 4 \end{array}]

‍.

Seja

P = M \cdot N

‍.

a) Quais dos seguintes números é $p_{1, 2}$ ‍?

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
$12$ ‍
(Escolha B)
$27$ ‍
(Escolha C)
$38$ ‍
(Escolha D)
$46$ ‍

b) Calcule $P$ ‍.

P =

‍

Por que a multiplicação de matrizes é definida dessa maneira?

Até agora, as operações com matrizes eram bastante intuitivas. Por exemplo, para somar duas matrizes, deve-se somar seus elementos correspondentes.

Mas com a multiplicação, as coisas são um pouco diferentes. Para multiplicar duas matrizes, não podemos simplesmente multiplicar seus elementos correspondentes.

Se isso parece um pouco confuso, recomendamos que você dê uma olhada nos artigos a seguir. Neles você encontrará a multiplicação de matrizes sendo colocada em prática.

Matrizes vistas como transformações
Matriz a partir da representação visual de transformações

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Marina Cerqueira
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Poderia ter o recurso de ...” de Marina Cerqueira
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