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Conteúdo principal

Introdução às matrizes nulas

Aprenda o que é uma matriz nula e como ela se relaciona à soma e subtração de matrizes e com a multiplicação escalar.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma matriz é um arranjo retangular de números em linhas e colunas.
As dimensões de uma matriz determinam o número de linhas e colunas da matriz, respectivamente. Como a matriz A tem 2 linhas e 3 colunas, ela é chamada de matriz 2×3.
Se isso for novidade para você, talvez você deva conferir nossa introdução às matrizes. Você também deve ter certeza de que você sabe como somar e subtrair matrizes e como multiplicar uma matriz por um escalar.

Definição de matriz nula

Uma matriz nula é uma matriz em que todos os elementos são 0. Alguns exemplos são dados abaixo.
matriz nula 3×3: O3×3=[000000000]
matriz nula 2×4: O2×4=[00000000]
Uma matriz nula é indicada por O, e, se necessário, um subscrito pode ser acrescentado para indicar as dimensões da matriz.
Uma matriz nula atua nas operações com matrizes de forma similar ao número zero com números reais. Vamos dar uma olhada.

Investigação: o que acontece quando somamos uma matriz nula?

Lembre que para somar duas matrizes, nós simplesmente somamos as entradas correspondentes.
Agora, tente resolver os seguintes problemas de soma de matrizes. Observe que cada problema envolve a soma de uma matriz e uma matriz nula.
1)
[4513]+[0000]=

2)
[000000]+[234817]=

Conclusão

Quando somamos a matriz nula m×n a qualquer matriz A m×n, obtemos a própria matriz A. Em outras palavras, A+O=A e O+A=A.
Aqui, as dimensões da matriz nula não são dadas explicitamente. Podemos entender que as dimensões da matriz nula são as mesmas dimensões da matriz A.

Pergunta para reflexão

Quais são as dimensões da matriz nula na equação B+O=B dado que B=[256818]?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
×
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Investigação: o que acontece quando somamos matrizes opostas?

A oposta de uma matriz A é a matriz A, em que cada elemento nessa matriz é o oposto do elemento correspondente na matriz A.
Por exemplo, se A=[4162], então A=[4162].
Agora, tente resolver os problemas de soma de matrizes a seguir. Observe que cada problema envolve a soma de uma matriz e a sua matriz oposta.
3)
[4387]+[4387]=

4)
[425132]+[425132]=

Conclusão

Quando somamos qualquer matriz m×n à sua oposta, temos como resultado a matriz nula m×n. Assim, se A é uma matriz qualquer, então A+(A)=O e A+A=O.
Também é verdade que AA=O. Isto porque subtrair uma matriz é o mesmo que somar sua oposta.

Investigação: o que acontece quando multiplicamos uma matriz pelo escalar 0?

Quando multiplicamos uma matriz por um escalar, cada posição da matriz é multiplicada pelo escalar dado.
Agora, tente resolver os problemas de multiplicação de escalares e matrizes a seguir. Observe que cada problema envolve a multiplicação de uma matriz pelo escalar 0.
5)
0[5491]=

6)
0[2410715342]=

Conclusão

Quando multiplicamos qualquer matriz m×n pelo escalar 0, o resultado é a matriz nula m×n.
Matematicamente, isto significa que 0A=O.

Resumo: comparação da matriz nula com o número real zero

Nas investigações acima, vimos que uma matriz nula comporta-se como o número real zero.
Em particular, nós podemos fazer as seguintes ligações:
Número zeroMatriz nula
Adicionar zero a qualquer número a resulta no mesmo número a. (por ex., a+0=a)Adicionar a matriz nula a qualquer matriz A resulta na mesma matriz A. (por ex., A+O=O+A=A)
Adicionar qualquer número ao seu oposto resulta em zero. (por ex., a+(a)=0)Adicionar qualquer matriz à sua oposta resulta na matriz nula. (por ex., A+(A)=O)
Qualquer número vezes zero é zero. (por ex., a0=0).A multiplicação escalar de uma matriz por 0 resulta em uma matriz nula. (por ex., 0A=O)
Entender essas conexões pode ajudar a tornar cálculos que envolvem uma matriz nula muito mais fáceis!

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  • Avatar spunky sam blue style do usuário C Quintela
    Por que os amigos não exemplificaram um tipo de cálculo que envolve matriz nula a fim de fazermos, desde já, entendermos quais as conexões dessa lição com as nossas necessidades diárias?
    (5 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
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