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Pré-cálculo

Curso: Pré-cálculo > Unidade 7

Lição 5: Propriedades da soma de matrizes e multiplicação escalar
Matemática
Pré-cálculo
Matrizes
Propriedades da soma de matrizes e multiplicação escalar
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Propriedades da soma de matrizes

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Descubra as propriedades da soma de matrizes (como a propriedade comutativa) e como elas se relacionam à soma de números reais.
Na tabela abaixo, A, B e C são matrizes de dimensões iguais.
PropriedadeExemplo
Propriedade comutativa da adiçãoA, plus, B, equals, B, plus, A
Propriedade associativa da adiçãoA, plus, left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis, equals, left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, plus, C
Propriedade do elemento neutro da adiçãoPara qualquer matriz A, existe uma única matriz O de tal modo A, plus, O, equals, A.
Propriedade da inversa aditivaPara cada A, existe uma única matriz minus, A de tal modo A, plus, left parenthesis, minus, A, right parenthesis, equals, O.
Propriedade do fechamento da adiçãoA, plus, B é uma matriz de mesma dimensão de A e B.
Esse artigo explora essas propriedades da adição de matrizes.

Matrizes e adição de matrizes

Uma matriz é um arranjo retangular de números em linhas e colunas. As dimensões de uma matriz fornecem o número de linhas e de colunas da matriz nessa ordem. Como a matriz A tem 2 linhas e 3 colunas, ela é chamada de matriz 2, times, 3.
Para somar duas matrizes de mesma dimensão, simplesmente some os elementos das posições correspondentes.
[3724]+[5281]=[3+57+22+84+1]=[89105]\begin{aligned}{\left[\begin{array}{rr}{\blueD3} &\blueD7 \\ \blueD2& \blueD4 \end{array}\right]}+\left[\begin{array}{rr}{\greenD5} &\greenD2 \\ \greenD8& \greenD1 \end{array}\right]&={\left[\begin{array}{rr}{\blueD3+\greenD5} &\blueD7+\greenD2 \\\blueD2+\greenD8& \blueD4+\greenD1 \end{array}\right]} \\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{8} &9 \\ 10& 5 \end{array}\right]\\ \end{aligned}
Se algo disso é novo para você, confira os artigos a seguir antes de continuar:

Considerações sobre dimensões

Observe que a soma de duas matrizes 2, times, 2 é outra matriz 2, times, 2. Geralmente, a soma de duas matrizes m, times, n é outra matriz m, times, n. Isso descreve a propriedade do fechamento da adição de matrizes.
Se as dimensões de duas matrizes não são iguais, a soma não é definida. Isso acontece porque, se A é uma matriz 2, times, 3 e B é uma matriz 2, times, 2, então alguns elementos na matriz A não terão elementos correspondentes na matriz B!
[278243]+[5281]=indefinida\begin{aligned}{\left[\begin{array}{rr}\blueD2&\blueD7 &\goldD8 \\ \blueD2& \blueD4&\goldD3 \end{array}\right]}+\left[\begin{array}{rr}{\greenD5} &\greenD2 \\ \greenD8& \greenD1 \end{array}\right]&=\text{indefinida} \end{aligned}

Adição de matrizes e adição de números reais

Como a adição de matrizes se apoia muito na adição de números reais, muitas das propriedades da adição que sabemos serem verdadeiras para números reais, também o são para matrizes.
Vamos analisar cada propriedade individualmente.

Propriedade comutativa da adição: A, plus, B, equals, B, plus, A

Esta propriedade afirma que você pode somar duas matrizes em qualquer ordem e obter o mesmo resultado.
Isto se equipara à propriedade comutativa da adição para números reais. Por exemplo, 3, plus, 5, equals, 5, plus, 3.
O exemplo a seguir ilustra essa propriedade das matrizes.
Observe como a propriedade comutativa da adição para matrizes se mantém graças à propriedade comutativa da adição para números reais!

Propriedade associativa da adição: left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, plus, C, equals, A, plus, left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis

Essa propriedade afirma que você pode alterar o agrupamento em uma adição de matrizes e obter o mesmo resultado. Por exemplo, você pode somar a matriz A à matriz B primeiro, e depois somar a matriz C, ou, você pode somar a matriz B à matriz C, e então somar esse resultado à matriz A.
Esta propriedade se equipara à propriedade associativa da adição para números reais. Por exemplo, left parenthesis, 2, plus, 3, right parenthesis, plus, 5, equals, 2, plus, left parenthesis, 3, plus, 5, right parenthesis.
Vamos legitimar essa propriedade das matrizes com um exemplo.
Em cada coluna simplificamos um lado da identidade em uma única matriz. As duas matrizes resultantes são equivalentes graças à propriedade associativa da adição de números reais. Por exemplo, left parenthesis, start color #01a995, 5, end color #01a995, plus, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, equals, start color #01a995, 5, end color #01a995, plus, left parenthesis, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, plus, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, right parenthesis.
Devido a essa propriedade, podemos escrever uma expressão como A, plus, B, plus, C e tê-la completamente definida. Não precisamos de parênteses para indicar qual adição calcular primeiro, já que isso não importa!

Propriedade do elemento neutro da adição: A, plus, O, equals, A

Uma matriz nula, denominada O, é uma matriz em que todos os elementos são iguais a 0.
Observe que, quando uma matriz nula é somada a qualquer matriz A, o resultado é sempre A.
  • [3−179]+[0000]=[3−179]\left[\begin{array}{rr}{3} &-1 \\ 7& 9 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0& 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}{3} &-1 \\ 7& 9 \end{array}\right]
  • [000000]+[283−157]=[283−157]\left[\begin{array}{rr}{0} &0 &{0} \\ 0& 0&{0} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}{2} &8 &3 \\ -1& 5&7 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}{2} &8 &3 \\ -1& 5&7 \end{array}\right]
Esses exemplos ilustram o significado da propriedade do elemento neutro; o de que a soma de qualquer matriz A à matriz nula apropriada é a matriz A.
A matriz nula pode ser comparada ao número zero do conjunto dos números reais. Para todos os números reais a, sabemos que a, plus, 0, equals, a. O número 0 é o elemento neutro do conjunto dos números reais, assim como O é o elemento neutro das matrizes.

Propriedade da inversa aditiva: A, plus, left parenthesis, minus, A, right parenthesis, equals, O

A oposta de uma matriz A é a matriz minus, A, em que cada elemento nessa matriz é o oposto do elemento correspondente na matriz A.
Por exemplo, se A=[−28−31]A=\left[\begin{array}{rr}{-2} &8 \\ -3& 1 \end{array}\right], então −A=[2−83−1]-A=\left[\begin{array}{rr}{2} &-8 \\ 3& -1 \end{array}\right].
Se somarmos A a minus, A obteremos uma matriz nula, o que demonstra a propriedade da inversa aditiva.
A+(−A)=[−28−31]+[2−83−1]=[−2+28+(−8)−3+31+(−1)]=[0000]\begin{aligned}A+(-A)&=\left[\begin{array}{rr}{-2} &8 \\ -3& 1 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}{2} &-8 \\ 3& -1 \end{array}\right]\\\\&=\left[\begin{array}{rr}{-2+2} &8+(-8) \\ -3+3& 1+(-1) \end{array}\right]\\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0& 0 \end{array}\right] \end{aligned}
A soma de um número real e seu oposto é sempre 0, então a soma de qualquer matriz e sua oposta resulta em uma matriz nula. Em decorrência disso, nos referimos a matrizes opostas como inversas aditivas.

Teste seu conhecimento

Para os problemas abaixo, considere A, B e C matrizes 2, times, 2.
1) Quais das seguintes expressões matriciais são equivalentes a left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, plus, C, question mark
Escolha todas as respostas aplicáveis:

2) Quais das seguintes expressões matriciais são equivalentes a left parenthesis, A, plus, left parenthesis, minus, A, right parenthesis, right parenthesis, plus, B?
Lembre-se de que A e B são matrizes 2, times, 2.
Escolha todas as respostas aplicáveis:

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