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Pré-cálculo

Curso: Pré-cálculo > Unidade 7

Lição 11: Propriedades da multiplicação de matrizes
Matemática
Pré-cálculo
Matrizes
Propriedades da multiplicação de matrizes
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Introdução à matriz identidade

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Aprenda como é uma matriz identidade e qual é o seu papel na multiplicação de matrizes.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma matriz é um arranjo retangular de números em linhas e colunas.
As dimensões de uma matriz determinam o número de linhas e colunas da matriz, respectivamente. Como a matriz A tem 2 linhas e 3 colunas, ela é chamada de matriz 2, times, 3.
Se isso for novidade para você, recomendamos que você confira nossa introdução às matrizes.
Na multiplicação de matrizes, cada elemento na matriz produto é o produto escalar entre uma linha da primeira matriz e uma coluna da segunda matriz.
Se isso for novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre multiplicação de matrizes.

Definição de matriz identidade

A matriz identidade n, times, n, indicada por I, start subscript, n, end subscript, é uma matriz com n linhas e n colunas. Os elementos na diagonal do canto superior esquerdo ao canto inferior direito são todos 1, e todos os outros elementos são 0.
Por exemplo:
I2=[1001]I3=[100010001]I4=[1000010000100001]I_2=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1} &0 \\ 0& \greenD1 \end{array}\right]\quad I_3=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1} &0 &0 \\ 0& \greenD1&0\\0&0&\greenD1 \end{array}\right]\quad I_4=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1} &0 &0&0 \\ 0& \greenD1&0&0\\0&0&\greenD1&0\\0&0&0&\greenD1 \end{array}\right]
A matriz identidade desempenha nas operações com matrizes um papel similar ao que o número 1 desempenha nas operações com números reais. Vamos dar uma olhada.

Investigação: multiplicação pela matriz identidade

Tente resolver alguns problemas de multiplicação que envolvem a matriz de identidade apropriada.
1) I2=[1001]I_2=\left[\begin{array}{rr}{1} &0 \\ 0& 1 \end{array}\right] e A=[2351]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &3 \\ 5& 1 \end{array}\right].
I, start subscript, 2, end subscript, dot, A, equals

2) I3=[100010001]I_3=\left[\begin{array}{rr}{1} &0&0 \\ 0& 1&0 \\0&0&1 \end{array}\right] e A=[154322413]A=\left[\begin{array}{rr}{1} &5&4 \\ 3& 2&2 \\4&1&3 \end{array}\right].
A, dot, I, start subscript, 3, end subscript, equals

A conclusão

O produto de qualquer matriz quadrada e sua matriz identidade apropriada é sempre a matriz original, independentemente da ordem na qual foi realizada a multiplicação! Em outras palavras, A, dot, I, equals, I, dot, A, equals, A.

Conexões com os números reais

Identidades multiplicativas

A matriz identidade I desempenha um papel similar ao que o número 1 desempenha no sistema de números reais.
O número 1A matriz identidade I
O produto de 1 e qualquer número a é a. left parenthesis, a, dot, 1, equals, 1, dot, a, equals, a, right parenthesisO produto de uma matriz quadrada A e a matriz identidade apropriada I é A. left parenthesis, A, dot, I, equals, I, dot, A, equals, A, right parenthesis

Inversos multiplicativos

Dois números reais cujo produto é a identidade multiplicativa são chamados de inversos multiplicativos. Por exemplo, os números start fraction, 1, divided by, 3, end fraction e 3 são inversos multiplicativos porque start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, dot, 3, equals, 1 e 3, dot, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, equals, 1.
Na verdade, todos os números reais diferentes de zero têm inversos multiplicativos. Mas será que essa conexão se mantém nas operações de matriz?
Considere as matrizes A e B.
A=[2334]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &3 \\ 3& 4 \end{array}\right] \quad B=[−433−2]B=\left[\begin{array}{rr}{-4} &3 \\ 3& -2 \end{array}\right]
Podemos multiplicar para ver que A, B, equals, I, start subscript, 2, end subscript e B, A, equals, I, start subscript, 2, end subscript.
Isso significa que A e B são inversos multiplicativos.
No entanto, como veremos, nem todas as matrizes têm inversos multiplicativos. Esse é o único ponto em que as propriedades dos números reais diferem das propriedades das matrizes!

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  • Avatar blobby green style do usuário erickgabrielfelix2000
    Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Uma dúvida nos inversos m...” de erickgabrielfelix2000
    Uma dúvida nos inversos multiplicativo, 3x1/3= 1 e 1/3x3=1 não é pela propriedade de que a ordem dos fatores não alteram o resultado do produto? Então qualquer multiplicação de números reais? teria um inverso multiplicativo? Mas e no caso das matrizes que mudando a ordem que se faça multiplicação também muda o resultado? Aí nesse caso apenas algumas seriam inversas?
    (4 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
  • Avatar leaf green style do usuário Fernando Fonseca
    Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “o exemplo apresentado par...” de Fernando Fonseca
    o exemplo apresentado para definição de matriz, confunde e não é representativo da ideia de multiplicação de matrizes
    (3 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
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