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Introdução à matriz identidade

Aprenda como é uma matriz identidade e qual é o seu papel na multiplicação de matrizes.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma matriz é um arranjo retangular de números em linhas e colunas.

As dimensões de uma matriz determinam o número de linhas e colunas da matriz, respectivamente. Como a matriz

A

tem

2

linhas e

3

colunas, ela é chamada de matriz

2 \times 3

Se isso for novidade para você, recomendamos que você confira nossa introdução às matrizes.

Na multiplicação de matrizes, cada elemento na matriz produto é o produto escalar entre uma linha da primeira matriz e uma coluna da segunda matriz.

Se isso for novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre multiplicação de matrizes.

Definição de matriz identidade

A matriz identidade

n \times n

, indicada por

I_{n}

, é uma matriz com

n

linhas e

n

colunas. Os elementos na diagonal do canto superior esquerdo ao canto inferior direito são todos

1

, e todos os outros elementos são

0

Por exemplo:

I_{2} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] I_{3} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] I_{4} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

A matriz identidade desempenha nas operações com matrizes um papel similar ao que o número

1

desempenha nas operações com números reais. Vamos dar uma olhada.

Investigação: multiplicação pela matriz identidade

Tente resolver alguns problemas de multiplicação que envolvem a matriz de identidade apropriada.

I_{2} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

A = [\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{array}]

I_{2} \cdot A =

I_{3} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

A = [\begin{array}{rr} 1 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{array}]

A \cdot I_{3} =

Vamos chamar as linhas da matriz de

A

e as colunas de matriz de

I_{3}

, assim é mais fácil de expressar

A \cdot I_{3}

Podemos calcular

I_{3} A \cdot

da seguinte forma:

$\begin{aligned} A \cdot I_{3} & = [\begin{array}{rr} \vec{a_{1}} \cdot \vec{i_{1}} & \vec{a_{1}} \cdot \vec{i_{2}} & \vec{a_{1}} \cdot \vec{i_{3}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{i_{1}} & \vec{a_{2}} \cdot \vec{i_{2}} & \vec{a_{2}} \cdot \vec{i_{3}} \\ \vec{a_{3}} \cdot \vec{i_{1}} & \vec{a_{3}} \cdot \vec{i_{2}} & \vec{a_{3}} \cdot \vec{i_{3}} \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 1 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 4 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 4 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \\ 4 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 & 4 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 & 4 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 1 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

A conclusão

O produto de qualquer matriz quadrada e sua matriz identidade apropriada é sempre a matriz original, independentemente da ordem na qual foi realizada a multiplicação! Em outras palavras,

A \cdot I = I \cdot A = A

Conexões com os números reais

Identidades multiplicativas

A matriz identidade

I

desempenha um papel similar ao que o número

1

desempenha no sistema de números reais.

O número $1$ ‍	A matriz identidade $I$ ‍
O produto de $1$ ‍ e qualquer número $a$ ‍ é $a$ ‍. $(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a)$ ‍	O produto de uma matriz quadrada $A$ ‍ e a matriz identidade apropriada $I$ ‍ é $A$ ‍. $(A \cdot I = I \cdot A = A)$ ‍

Inversos multiplicativos

Dois números reais cujo produto é a identidade multiplicativa são chamados de inversos multiplicativos. Por exemplo, os números

\frac{1}{3}

3

são inversos multiplicativos porque

\frac{1}{3} \cdot 3 = 1

3 \cdot \frac{1}{3} = 1

Na verdade, todos os números reais diferentes de zero têm inversos multiplicativos. Mas será que essa conexão se mantém nas operações de matriz?

Considere as matrizes

A

B

$A = [\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{array}]$ ‍ ‍ $B = [\begin{array}{rr} - 4 & 3 \\ 3 & - 2 \end{array}]$ ‍

Podemos multiplicar para ver que

A B = I_{2}

B A = I_{2}

Vamos chamar as linhas da matriz de

A

e as colunas de matriz de

B

, assim é mais fácil de expressar

A B

Podemos calcular

A B

da seguinte forma:

$\begin{aligned} A B & = [\begin{array}{rr} \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{1}} & \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{2}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{1}} & \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{2}} \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 2 \cdot (- 4) + 3 \cdot 3 & 2 \cdot 3 + 3 \cdot (- 2) \\ 3 \cdot (- 4) + 4 \cdot 3 & 3 \cdot 3 + 4 \cdot (- 2) \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Para calcular

B A

, certifique-se de mudar a ordem das matrizes. Devido a isso, devemos rotular novamente as linhas e as colunas das matrizes.

Podemos calcular

B A

da seguinte forma:

$\begin{aligned} B A & = [\begin{array}{rr} \vec{b_{1}} \cdot \vec{a_{1}} & \vec{b_{1}} \cdot \vec{a_{2}} \\ \vec{b_{2}} \cdot \vec{a_{1}} & \vec{b_{2}} \cdot \vec{a_{2}} \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} (- 4) \cdot 2 + 3 \cdot 3 & - 4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 2 + (- 2) \cdot 3 & 3 \cdot 3 + (- 2) \cdot 4 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Isso significa que

A

B

são inversos multiplicativos.

No entanto, como veremos, nem todas as matrizes têm inversos multiplicativos. Esse é o único ponto em que as propriedades dos números reais diferem das propriedades das matrizes!

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erickgabrielfelix2000
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Uma dúvida nos inversos m...” de erickgabrielfelix2000
Uma dúvida nos inversos multiplicativo, 3x1/3= 1 e 1/3x3=1 não é pela propriedade de que a ordem dos fatores não alteram o resultado do produto? Então qualquer multiplicação de números reais? teria um inverso multiplicativo? Mas e no caso das matrizes que mudando a ordem que se faça multiplicação também muda o resultado? Aí nesse caso apenas algumas seriam inversas?
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(4 votos)
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Fernando Fonseca
Publicado há há 8 anos. Link direto para a postagem “o exemplo apresentado par...” de Fernando Fonseca
o exemplo apresentado para definição de matriz, confunde e não é representativo da ideia de multiplicação de matrizes
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(3 votos)
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Pré-cálculo

Curso: Pré-cálculo > Unidade 7

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Definição de matriz identidade

Investigação: multiplicação pela matriz identidade

A conclusão

Conexões com os números reais

Identidades multiplicativas

Inversos multiplicativos

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