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Pré-cálculo

Curso: Pré-cálculo > Unidade 7

Lição 11: Propriedades da multiplicação de matrizes
Matemática
Pré-cálculo
Matrizes
Propriedades da multiplicação de matrizes
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Dimensões na multiplicação de matrizes

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Aprenda sobre as condições para a multiplicação de matrizes ser definida e sobre as dimensões do produto de duas matrizes.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma matriz é um conjunto retangular de números organizados em linhas e colunas. Cada número em uma matriz é chamado de elemento da matriz ou simplesmente elemento.
As dimensões de uma matriz determinam, respectivamente, o número de linhas e colunas. Como a matriz A tem 2 linhas e 3 colunas, é chamada de matriz 2, times, 3.
Se isso for novidade para você, recomendamos que você confira nossa introdução às matrizes.
Na multiplicação de matrizes, cada elemento na matriz produto é o produto escalar entre uma linha da primeira matriz e uma coluna da segunda matriz.
Se isso for novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre multiplicação de matrizes.

O que você vai aprender nessa lição

Nós investigaremos a relação entre as dimensões de duas matrizes e as dimensões do seu produto. Especificamente, vamos ver que as dimensões das matrizes devem atender a uma determinada condição para a multiplicação ser definida.

Quando a multiplicação de matrizes é definida?

Para que a multiplicação de matrizes seja definida, o número de colunas na primeira matriz deve ser igual ao número de linhas na segunda matriz.
Para entender o porquê, considere as duas matrizes a seguir:
A=[132425]A=\left[\begin{array}{rr}{1} &3 \\ 2& 4 \\ 2& 5 \end{array}\right] e B=[13222451]B=\left[\begin{array}{rrrr}{1} &3&2&2 \\ 2& 4&5&1 \end{array}\right]
Para calcular A, B, fazemos o produto escalar entre uma linha em A e uma coluna em B. Isso significa que o número de elementos em cada linha de A deve ser igual ao número de elementos em cada coluna de B.
A=[132425]A=\left[\begin{array}{rr}{\maroonC1} &\maroonC3 \\ 2& 4 \\ 2& 5 \end{array}\right] e B=[13222451]B=\left[\begin{array}{rrrr}{\maroonC1} &3&2&2 \\ \maroonC2& 4&5&1 \end{array}\right]
Observe que se uma matriz tem dois elementos em cada linha, então ela tem duas colunas. Da mesma forma, se uma matriz tem dois elementos em cada coluna, então ela deve ter duas linhas.
Logo, segue-se que para a multiplicação de matrizes ser definida, o número de colunas na primeira matriz deve ser igual ao número de linhas na segunda matriz.

Teste seu conhecimento

1) A=[246473]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &4 \\ 6& 4 \\ 7& 3 \end{array}\right] e B=[2185]B=\left[\begin{array}{rr}{2} &1 \\ 8& 5 \end{array}\right].
A, B é definida?
Escolha 1 resposta:

2) C=[53616853]C=\left[\begin{array}{rrrr}{5} &3&6&1 \\ 6& 8&5&3 \end{array}\right] e D=[218755]D=\left[\begin{array}{rrrr}{2} &1&8 \\ 7& 5&5 \end{array}\right].
C, D é definida?
Escolha 1 resposta:

3) A é uma matriz 4, times, 2 e B é uma matriz 2, times, 3.
A, B é definida?
Escolha 1 resposta:

B, A é definida?
Escolha 1 resposta:

Propriedade das dimensões

O produto de uma matriz start color #11accd, m, end color #11accd, times, start color #ed5fa6, n, end color #ed5fa6 e uma matriz start color #ed5fa6, n, end color #ed5fa6, times, start color #e07d10, k, end color #e07d10 é uma matriz start color #11accd, m, end color #11accd, times, start color #e07d10, k, end color #e07d10.
Vamos considerar o produto A, B, em que A=[132425]A=\left[\begin{array}{rr}{1} &3 \\ 2& 4 \\ 2& 5 \end{array}\right] e B=[13222451]B=\left[\begin{array}{rrrr}{1} &3&2&2 \\ 2& 4&5&1 \end{array}\right].
Já sabemos que A, B é definida, pois o número de colunas em A, start subscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, times, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, end subscript left parenthesis, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, right parenthesis corresponde ao número de linhas em B, start subscript, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, times, start color #e07d10, 4, end color #e07d10, end subscript left parenthesis, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, right parenthesis.
Para calcularA, B, devemos encontrar o produto escalar entre cada linha de A e cada coluna de B. Assim, a matriz resultante terá o mesmo número de linhas que a matriz A, start subscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, times, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, end subscript left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, right parenthesis e o mesmo número de colunas que a matriz B, start subscript, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, times, start color #e07d10, 4, end color #e07d10, end subscript left parenthesis, start color #e07d10, 4, end color #e07d10, right parenthesis. Será uma matriz start color #11accd, 3, end color #11accd, times, start color #e07d10, 4, end color #e07d10.

Teste seu conhecimento

4) A=[246473]A=\left[\begin{array}{rr}{2} &4 \\ 6& 4 \\ 7& 3 \end{array}\right] e B=[2185]B=\left[\begin{array}{rr}{2} &1 \\ 8& 5 \end{array}\right].
Quais são as dimensões de A, B?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) C=[431672]C=\left[\begin{array}{rr}{4} &3&1 \\ 6&7& 2 \end{array}\right] e D=[314]D=\left[\begin{array}{r}{3}\\ 1 \\ 4 \end{array}\right].
Quais são as dimensões de C, D?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) A é uma matriz 2, times, 3 e B é uma matriz 3, times, 4.
Quais são as dimensões de A, B?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7) X é uma matriz 2, times, 1 e Y é uma matriz 1, times, 2.
Quais são as dimensões da matriz X, Y?
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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