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Pré-cálculo

Curso: Pré-cálculo > Unidade 7

Lição 11: Propriedades da multiplicação de matrizes
Matemática
Pré-cálculo
Matrizes
Propriedades da multiplicação de matrizes
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Propriedades da multiplicação de matrizes

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Descubra as propriedades da multiplicação de matrizes (como a propriedade distributiva) e como elas se relacionam à multiplicação de números reais.

Propriedades da multiplicação de matrizes

Nessa tabela, A, B e C são matrizes n, times, n, I é a matriz identidade n, times, n e O é a matriz nula n, times, n.
PropriedadeExemplo
A propriedade comutativa da multiplicação start color #df0030, start text, n, a, with, \~, on top, o, space, f, u, n, c, i, o, n, a, !, end text, end color #df0030A, B, does not equal, B, A
Propriedade associativa da multiplicaçãoleft parenthesis, A, B, right parenthesis, C, equals, A, left parenthesis, B, C, right parenthesis
Propriedades distributivas A, left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis, equals, A, B, plus, A, C
left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis, A, equals, B, A, plus, C, A
Propriedade do elemento neutro da multiplicação I, A, equals, A e A, I, equals, A
Propriedade do elemento nulo da multiplicaçãoO, A, equals, O e A, O, equals, O
Propriedade das dimensõesO produto de uma matriz m, times, n por uma matriz n, times, k é uma matriz m, times, k.
Vamos dar uma olhada na multiplicação de matrizes e explorar essas propriedades.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Na multiplicação de matrizes, cada elemento na matriz produto é o produto escalar entre uma linha da primeira matriz e uma coluna da segunda matriz.
Se isso for novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre multiplicação de matrizes.
Aqui estão outros artigos pertinentes:

A multiplicação de matrizes não é comutativa

Uma das maiores diferenças entre a multiplicação de números reais e a multiplicação de matrizes é que a multiplicação entre matrizes não é comutativa.
Em outras palavras, na multiplicação de matrizes, a ordem em que as matrizes são multiplicadas faz diferença!

Vejam por si mesmos!

Vamos dar uma olhada em um exemplo concreto com as seguintes matrizes.
A=[3412]A=\left[\begin{array}{rr}{3} &4 \\ 1&2 \end{array}\right] \quad B=[6232]B=\left[\begin{array}{rr}{6} &2 \\ 3& 2 \end{array}\right]
1) Calcule A, B e B, A.
A, B, equals
B, A, equals

Perceba que os produtos não são iguais! Como A, B, does not equal, B, A, a multiplicação de matrizes não é comutativa!
Apesar desta grande diferença, entretanto, as propriedades da multiplicação de matrizes são, em sua maioria, semelhantes às propriedades da multiplicação de números reais.

Propriedade associativa da multiplicação: left parenthesis, A, B, right parenthesis, C, equals, A, left parenthesis, B, C, right parenthesis

Esta propriedade determina que você pode alterar o agrupamento em torno de uma multiplicação de matrizes.
Por exemplo, você pode multiplicar a matriz A pela matriz B, e então multiplicar o resultado pela matriz C, ou você pode multiplicar a matriz B pela matriz C e então multiplicar o resultado pela matriz A.
Quando estiver usando essa propriedade, tenha certeza de prestar atenção na ordem em que as matrizes são multiplicadas, já que sabemos que a propriedade comutativa não é válida para multiplicações de matrizes!

Propriedades distributivas

Podemos distribuir matrizes da mesma forma que distribuímos os números reais.
  • A, left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis, equals, A, B, plus, A, C
  • left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis, A, equals, B, A, plus, C, A
Se uma matriz A for distribuída pelo lado esquerdo, certifique-se de que cada produto na soma resultante terá A à sua esquerda! Da mesma maneira, se a matriz A for distribuída pelo lado direito, certifique-se de que cada produto na soma resultante terá A à sua direita!

Propriedade do elemento neutro da multiplicação

A matriz identidade n, times, n, indicada por I, start subscript, n, end subscript, é uma matriz com n linhas e n colunas. Os elementos na diagonal do canto superior esquerdo ao canto inferior direito são todos 1, e todos os outros elementos são 0.
Por exemplo:
I2=[1001]I3=[100010001]I4=[1000010000100001]I_2=\left[\begin{array}{rr}{1} &0 \\ 0& 1 \end{array}\right]\quad I_3=\left[\begin{array}{rr}{1} &0 &0 \\ 0& 1&0\\0&0&1 \end{array}\right]\quad I_4=\left[\begin{array}{rr}{1} &0 &0&0 \\ 0& 1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{array}\right]
A propriedade do elemento neutro da multiplicação afirma que o produto de qualquer matriz A n, times, n por I, start subscript, n, end subscript é sempre A, independentemente da ordem em que a multiplicação foi realizada. Em outras palavras, A, dot, I, equals, I, dot, A, equals, A.
O papel que a matriz identidade n, times, n desempenha na multiplicação de matrizes é similar ao papel que o número 1 desempenha no conjunto dos números reais. Se a é um número real, então sabemos que a, dot, 1, equals, a e que 1, dot, a, equals, a.

Propriedade do elemento nulo da multiplicação

Uma matriz nula é uma matriz na qual todos os elementos são 0. Por exemplo, a matriz nula 3, times, 3 é O3×3=[000000000] O_{3\times 3}=\left[\begin{array}{rrr}0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \end{array}\right].
Uma matriz nula é indicada por O, e, se necessário, um subscrito pode ser acrescentado para indicar as dimensões da matriz.
A propriedade do elemento nulo da multiplicação afirma que o produto de qualquer matriz n, times, n pela matriz nula n, times, n é a matriz nula n, times, n. Em outras palavras, A, dot, O, equals, O, dot, A, equals, O.
O papel que a matriz nula n, times, n desempenha na multiplicação de matrizes é similar ao papel que o número 0 desempenha no conjunto dos números reais. Se a é um número real, então sabemos que a, dot, 0, equals, 0 e que 0, dot, a, equals, 0.

A propriedade das dimensões

Uma propriedade que é exclusiva das matrizes é a propriedade das dimensões. Essa propriedade tem duas partes:
  1. O produto de duas matrizes será definido se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.
  2. Se o produto for definido, a matriz resultante terá o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz.
Por exemplo, se A é uma matriz start color #11accd, 3, end color #11accd, times, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 e se B é uma matriz start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, times, start color #e07d10, 4, end color #e07d10, a propriedade das dimensões nos diz que:
  • O produto A, B é definido.
  • A, B será uma matriz start color #11accd, 3, end color #11accd, times, start color #e07d10, 4, end color #e07d10.

Teste seu conhecimento

Agora que você já conhece a multiplicação de matrizes e suas propriedades, vamos ver se você consegue utilizá-las para determinar expressões de matrizes equivalentes.
Para os problemas abaixo, considere A, B e C matrizes 2, times, 2 e O a matriz nula 2, times, 2.
2) Quais das seguintes expressões são equivalentes a A, left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

3) Quais das seguintes expressões são equivalentes a I, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, A, B, right parenthesis?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

4) Quais das seguintes expressões são equivalentes a O, left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

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