Resolução de sistemas lineares com matrizes

RKA4JL - No último vídeo, nós vimos que a gente pode ter duas equações. Essas duas equações estão com duas incógnitas e a gente consegue representar essa situação por meio de uma equação matricial onde a matriz “A” vai ter os coeficientes do lado esquerdo das equações. O vetor coluna “x” é justamente as incógnitas que eu quero descobrir e o vetor coluna “b” vai ser o resultado que está aqui do lado direito de ambas as equações. O interessante disso é que a gente pode ter, assim, a seguinte equação: a matriz “A” vezes o vetor coluna “x” é igual ao vetor coluna “b”. Nós vimos que se a matriz “A” for uma matriz invertível, a gente pode multiplicar ambos os lados dessa equação pelo inverso de “A”. Multiplicamos os lados esquerdos da equação, (isso é importante você perceber, porque na multiplicação de matrizes a ordem importa), chegamos, assim, no resultado que dá o valor do vetor desconhecido x. Nós sabemos que o vetor coluna x é o resultado das incógnitas [s, t]. Quando a gente resolve e acha o valor dele, nós resolvemos esse sistema de equações aqui. Agora nós vamos, de fato, resolver isso aqui. Vamos calcular a matriz inversa de “A”, multiplicá-la pelo vetor coluna “b” e dessa maneira achar o vetor coluna “x”, que nada mais é do que as variáveis [s, t] e, obviamente, resolver esse sistema. Então, vamos lá. Para calcular a inversa de “A”, eu tenho que primeiro calcular um sobre o determinante de “A”. O determinante de “A” nada mais é do que o produto, primeiro, dessa diagonal, 2 vezes 4, 8, menos o produto dessa diagonal aqui, -5 vezes -2 dá +10, 8 com menos +10, -2. Então o resultado aqui vai dar -2. Vamos só conferir: 2 vezes 4, 8, -5 vezes -2, menos vezes menos é mais, 10, 8 menos 10, -2. Está certo. Continuando, então, no cálculo da inversa, é um sobre determinante de “A” vezes a adjunta de “A”. Na matriz adjunta de “A”, aqui eu inverto essa diagonal, então aqui vai ficar 4, aqui nessa primeira entrada, e ali embaixo vai ficar 2. E nessa aqui basta eu inverter os sinais. Aqui vai ser menos essas duas entradas aqui. Então onde está -5 vai ficar +5 e onde está -2 vai ficar +2. Se tudo isso parecer um pouco estranho, você pode rever o tutorial sobre matrizes inversas porque ele fala sobre tudo isso que eu estou fazendo aqui. Vamos agora calcular, então, a inversa. Para achar a inversa a gente tem que fazer essa multiplicação aqui. Então, vamos lá. -½ vezes 4 vai ser -2, -½ vezes 5 vai ser -2,5, e -½ vezes 2 é -1, aqui também -½ vezes 2 vai ser -1. Essa aqui, então, é a matriz inversa de “A”. Vamos repeti-la aqui embaixo porque, agora, o que nós temos que fazer é multiplicá-la pelo vetor coluna “b”, não é? Então [-2, -2,5, -1, -1]. Agora nós temos que pegar essa matriz e multiplicá-la pelo vetor coluna “b”. Vou fazer tudo aqui de branco para ficar mais prático, para facilitar. A gente já tem bastante experiência em multiplicar matrizes, não é? Então aqui vai ficar 7, aqui vai ficar -6. Essa multiplicação vai ser igual ao quê? Vamos lá, então. Primeiro vamos multiplicar com essas duas somas. A primeira aqui vai ficar -2 vezes 7 dá -14, -2,5 vezes -6, menos vezes menos vai ser positivo, 2,5 vezes 6, 2,5 e 2,5 é 5, 5, 5, 5, 15. +15. -1 vezes 7, menos vezes mais vai dar menos, 1 vezes 7, 7, e -1 vezes -6, menos vezes menos é mais, 6 vezes 1, 6. Agora vamos resolver essa soma aqui. Bom, então o vetor coluna x, que é a multiplicação da inversa de “A” vezes a matriz coluna “b” é igual a... Nesse momento a gente merece até que rufem os tambores, não é? -14 mais 15 vai ser 1 e -7 com 6 vai ser -1. Esse é o nosso vetor coluna “x”. Nós acabamos de mostrar, então, que isso aqui é igual ao vetor coluna [1, -1], ou que esse vetor coluna x é igual a [1, -1], ou ainda podemos dizer que o vetor com essas entradas aqui, o vetor com as entradas [s, t], é exatamente igual ao vetor coluna que a gente descobriu aqui quanto é que vale, que é igual ao vetor [1, -1]. O que quer dizer que “s” é igual a 1 e “t” é igual -1. Eu sei que você deve estar dizendo. Eu já disse isso no último vídeo, mas vou dizer aqui novamente, porque você pode dizer: "Ah, mas é muito mais fácil resolver esse sistema aqui de forma direta, usando o método da adição e eliminando uma das incógnitas, ou pelo método da substituição", e eu até concordo com você, mas é uma técnica muito útil, porque quando você lida com problemas computacionais, existem situações em que você tem um lado esquerdo fixo, sempre sendo o mesmo, e esse lado direito aqui variando. Valores diferentes eu posso colocar aqui. Então, para esses casos, é mais fácil você calcular logo a inversa da matriz e depois só fazer a multiplicação pelos valores que vão entrar aqui, diferentes, mudando apenas o lado direito e essa matriz coluna aqui. Você provavelmente está familiarizado com alguns tipos. Você tem processadores gráficos e placas gráficas em computadores e eles falam sobre como coprocessadores especiais gráficos. Esses são realmente especiais porque possuem um rádio especial para a multiplicação de matrizes e é muito, muito, muito mais rápido porque quando está fazendo um processamento gráfico, você está pensando em modelagem em três dimensões, isso está fazendo todas as transformações. Você, na realidade, está fazendo várias multiplicações de matrizes muito, muito rápido e em tempo real, de modo que o usuário que vai jogar o jogo, ou o que quer que esteja fazendo, é como se ele tivesse em algum tipo de reality 3D em tempo real. Enfim, eu só quero mostrar isso. Claro que se eu visse esse sistema aleatoriamente, institivamente eu também o resolveria pelo método tradicional da eliminação por adição ou pela substituição, mas essa habilidade de pensar nessa situação como uma equação matricial é um conceito muito, muito útil que não será usada apenas em computação, mas também quando você estudar ciências em um nível mais superior, especialmente em física. Você vai ver um monte de equações matriciais e vetoriais como essa. Em termos gerais, é realmente importante pensar no que eles podem representar e em como eles podem ser resolvidos. Por hoje é isso, galera. Até breve em mais um vídeo!