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Curso: Pré-cálculo > Unidade 8
Lição 5: Probabilidade usando análise combinatória- Probabilidade usando combinações
- Exemplo: Probabilidade na loteria
- Exemplo: diferentes maneiras de escolher administradores
- Exemplo de probabilidade com permutações e combinações: teste de sabor
- Exemplo de probabilidade com combinações: escolha de grupos
- Exemplo de probabilidade com combinações: escolha de cartas
- Probabilidade com permutações e combinações
- Probabilidade de ganhar na loteria
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Exemplo de probabilidade com combinações: escolha de grupos
Podemos usar duas combinações (quando a ordem não importa) para calcular a probabilidade de alguém ser incluído em um grupo que foi escolhido de forma aleatória a partir de um grupo maior. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula nós vamos
fazer um exercício a respeito de probabilidade
que utiliza análise combinatória. Para isso, temos
o seguinte aqui: Laura trabalha em uma equipe
de 13 pessoas no total. Seu gerente está selecionando
aleatoriamente três membros de sua equipe para representar a empresa
em uma conferência. Qual é a probabilidade de Laura ser
escolhida para a conferência? Eu sugiro que você pause o vídeo
e tente resolver isso sozinho. Ok, vamos fazer isso juntos.
O que queremos saber é a probabilidade de Laura
ser escolhida para essa conferência. Para isso temos que pegar os casos
favoráveis e dividir pelos casos possíveis. Os casos favoráveis são os casos em que
temos o número de times com a Laura e os casos possíveis são
o número total de times. Isso vai ser
igual a quê? Primeiro, vamos nos concentrar no total
de times no denominador dessa fração. Qual é o número total
possível de equipes, de times? Note que temos um total
de 13 pessoas na equipe e queremos escolher
aleatoriamente três pessoas. E aí eu pergunto:
a ordem é importante? Não. Não é como se estivéssemos
escolhendo três pessoas para três cargos diferentes
em uma empresa. Nesse caso, estamos pegando
um total de 13 pessoas e formando grupos de três em três
sem a ordem importar. Quando estamos agrupando elementos sem
a ordem importar, nós temos uma combinação. Então o número total de pessoas vai ser uma
combinação de 13 elementos tomados três a três. E qual é o número
de times com Laura? A possibilidade para isso é a Laura estar
na equipe e outras duas também. Então o que temos
que pensar é: quantas são as outras possibilidades
das outras pessoas? Ou seja, temos um total de
13 pessoas e vamos escolher três, mas uma vaga dessa
já é da Laura. Então temos 12 pessoas restantes
e queremos escolher duas. Como a ordem não é importante, temos
que fazer uma combinação de 12 elementos agrupados de dois em dois.
Isso vai ser igual a quê? Se quiser, você pode utilizar
a fórmula de combinação, que é a combinação de
n elementos tomados P a P igual a n fatorial sobre P fatorial
que multiplica (n - P) fatorial. É uma possibilidade,
mas eu quero deixar claro que quando estamos trabalhando
com análise combinatória, sempre podemos nos aproveitar
do princípio fundamental da contagem. Então, para resolver essa combinação
de 12 elementos tomados de dois a dois, pense que temos que
fazer duas escolhas. A primeira é escolher um companheiro para
Laura, e com isso temos 12 possibilidades. Após isso, temos que escolher
o segundo companheiro de Laura, que, nesse caso, tem
11 possibilidades restantes. Mas a ordem não importa, essas duas pessoas
podem ficar uma no lugar da outra, o que significa que se escolhermos
uma pessoa A e depois uma pessoa B, é o mesmo grupo que escolher a pessoa B
primeiro e depois a pessoa A, ou seja, essa contagem
está repetida. Por causa disso, temos
que dividir por 2 fatorial, que é a mesma coisa
que 2 vezes 1, que é 2. E para o número total de times,
nós temos que fazer três escolhas. A primeira possibilidade
são 13 pessoas, a segunda, 12 e a terceira, 11,
e como tem três posições, basta dividirmos por 3 fatorial,
que é 3 vezes 2 vezes 1. E resolvendo isso, podemos simplificar
esse 12 com esse 2, ficando com 6 aqui, e aí no numerador vamos
ficar com 6 vezes 11, no denominador
3 vezes 2, vai dar 6 e podemos cancelar com esse
12 aqui, ficando com 2. Com isso, ficamos com
13 vezes 2 vezes 11. Isso vai ser igual a 3/13. Pronto! Essa é a probabilidade de Laura
ser escolhida para a conferência. Eu espero que essa aula tenha ajudado
vocês, e até a próxima, pessoal!