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Exemplo de probabilidade com combinações: escolha de grupos

Podemos usar duas combinações (quando a ordem não importa) para calcular a probabilidade de alguém ser incluído em um grupo que foi escolhido de forma aleatória a partir de um grupo maior. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos fazer um exercício a respeito de probabilidade que utiliza análise combinatória. Para isso, temos o seguinte aqui: Laura trabalha em uma equipe de 13 pessoas no total. Seu gerente está selecionando aleatoriamente três membros de sua equipe para representar a empresa em uma conferência. Qual é a probabilidade de Laura ser escolhida para a conferência? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Ok, vamos fazer isso juntos. O que queremos saber é a probabilidade de Laura ser escolhida para essa conferência. Para isso temos que pegar os casos favoráveis e dividir pelos casos possíveis. Os casos favoráveis são os casos em que temos o número de times com a Laura e os casos possíveis são o número total de times. Isso vai ser igual a quê? Primeiro, vamos nos concentrar no total de times no denominador dessa fração. Qual é o número total possível de equipes, de times? Note que temos um total de 13 pessoas na equipe e queremos escolher aleatoriamente três pessoas. E aí eu pergunto: a ordem é importante? Não. Não é como se estivéssemos escolhendo três pessoas para três cargos diferentes em uma empresa. Nesse caso, estamos pegando um total de 13 pessoas e formando grupos de três em três sem a ordem importar. Quando estamos agrupando elementos sem a ordem importar, nós temos uma combinação. Então o número total de pessoas vai ser uma combinação de 13 elementos tomados três a três. E qual é o número de times com Laura? A possibilidade para isso é a Laura estar na equipe e outras duas também. Então o que temos que pensar é: quantas são as outras possibilidades das outras pessoas? Ou seja, temos um total de 13 pessoas e vamos escolher três, mas uma vaga dessa já é da Laura. Então temos 12 pessoas restantes e queremos escolher duas. Como a ordem não é importante, temos que fazer uma combinação de 12 elementos agrupados de dois em dois. Isso vai ser igual a quê? Se quiser, você pode utilizar a fórmula de combinação, que é a combinação de n elementos tomados P a P igual a n fatorial sobre P fatorial que multiplica (n - P) fatorial. É uma possibilidade, mas eu quero deixar claro que quando estamos trabalhando com análise combinatória, sempre podemos nos aproveitar do princípio fundamental da contagem. Então, para resolver essa combinação de 12 elementos tomados de dois a dois, pense que temos que fazer duas escolhas. A primeira é escolher um companheiro para Laura, e com isso temos 12 possibilidades. Após isso, temos que escolher o segundo companheiro de Laura, que, nesse caso, tem 11 possibilidades restantes. Mas a ordem não importa, essas duas pessoas podem ficar uma no lugar da outra, o que significa que se escolhermos uma pessoa A e depois uma pessoa B, é o mesmo grupo que escolher a pessoa B primeiro e depois a pessoa A, ou seja, essa contagem está repetida. Por causa disso, temos que dividir por 2 fatorial, que é a mesma coisa que 2 vezes 1, que é 2. E para o número total de times, nós temos que fazer três escolhas. A primeira possibilidade são 13 pessoas, a segunda, 12 e a terceira, 11, e como tem três posições, basta dividirmos por 3 fatorial, que é 3 vezes 2 vezes 1. E resolvendo isso, podemos simplificar esse 12 com esse 2, ficando com 6 aqui, e aí no numerador vamos ficar com 6 vezes 11, no denominador 3 vezes 2, vai dar 6 e podemos cancelar com esse 12 aqui, ficando com 2. Com isso, ficamos com 13 vezes 2 vezes 11. Isso vai ser igual a 3/13. Pronto! Essa é a probabilidade de Laura ser escolhida para a conferência. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês, e até a próxima, pessoal!