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Exemplo de probabilidade com permutações e combinações: teste de sabor

Podemos usar combinações (quando a ordem não importa) e permutações (quando a ordem importa) para calcular probabilidades. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos fazer um exercício a respeito de probabilidade utilizando combinatória. Para isso, temos o seguinte aqui: Samara está organizando um concurso de degustação de azeites para um festival. De 15 variedades distintas, Samara escolherá três azeites diferentes e os misturará. Um competidor provará um blend e tentará identificar quais três das 15 variedades foram usadas para fazê-lo. Suponha que um competidor não sinta nenhuma diferença e esteja adivinhando aleatoriamente. Qual é a probabilidade de um competidor adivinhar corretamente quais são as três variedades utilizadas? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Vamos lá, então. Primeiro é importante você destacar algumas partes do texto. Sabemos que temos 15 variedades e estamos escolhendo três diferentes, ou seja, temos 15 azeites e queremos formar grupos de três em três. Uma pergunta que você deve se fazer sempre quando estiver trabalhando com análise combinatória e formando grupos é: a ordem dessas escolhas importa ou não? Nesse caso aqui, não, porque se você escolher o azeite A, depois o azeite B e depois o azeite C e misturar esses três azeites, vai ser um mesmo grupo. E quando a ordem não importa, utilizamos uma combinação. Queremos fazer uma combinação de 15 elementos tomados três a três. E claro, isso aqui só é uma forma abreviada de representar uma combinação, que nada mais é do que uma formação de grupos onde a ordem em que você escolhe esses elementos não importa. E claro, de repente você tentou utilizar um arranjo para resolver isso, mas um arranjo é um agrupamento quando a ordem importa. Seria um arranjo caso o competidor tivesse que adivinhar as três misturas na ordem em que foi misturada originalmente, mas não é esse o caso. Sabendo o total de possibilidades, qual é a probabilidade de um competidor adivinhar corretamente quais são as três variedades utilizadas? Vai ser uma possibilidade no total, ou seja, 1 sobre o total, que é a combinação de 15 elementos tomados três a três. E claro, você pode utilizar uma fórmula para calcular essa combinação. Se você não lembra, a combinação de n elementos tomados de P a P é igual a n fatorial sobre P fatorial que multiplica (n - P) fatorial. Mas eu não vou utilizar a fórmula aqui, tá? Eu vou fazer intuitivamente. E sempre podemos utilizar o princípio fundamental da contagem para isso, ou seja, vamos colocar isso aqui como 1 sobre a combinação de 15 e 3 e que pode ser pensada como: "eu tenho 15 variedades e tenho que fazer três escolhas diferentes: para a primeira escolha eu tenho 15 possibilidades; para a segunda, 14 possibilidades; e para a terceira, 13 possibilidades." E como a ordem que faço essas escolhas não importa, eu posso colocar cada elemento em três posições possíveis, ou seja, nessa multiplicação eu estou contando elementos repetidos. Para corrigir isso, eu divido por 3 fatorial, já que são três posições. 3 fatorial é 3 vezes 2 vezes 1, e isso é a mesma coisa que pegar 3 vezes 2 vezes 1 e dividir por 15 vezes 14 vezes 13. Eu posso simplificar aqui por 2, que vai dar 1 e aqui também, que vai dar 7, aqui por 3, que vai dar 1, e aqui também, que vai dar 5. E aí vamos ficar com 5 vezes 7, que dá 35, vezes 13, e 1 aqui em cima. 35 vezes 13 é igual a 455. Pronto! Essa é a probabilidade que queríamos encontrar. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês, e até a próxima, pessoal!