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Pré-cálculo

Curso: Pré-cálculo > Unidade 4

Lição 7: Soma e subtração de expressões racionais
Matemática
Pré-cálculo
Funções racionais
Soma e subtração de expressões racionais
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Soma e subtração de expressões racionais

Google Sala de Aula
Você aprendeu os conceitos básicos da soma/subtração de expressões racionais? Ótimo! Agora vamos nos aprofundar com alguns exemplos avançados.

O que precisamos saber antes dessa lição

Uma expressão racional é uma razão de dois polinômios.
Para somar ou subtrair duas expressões racionais com o mesmo denominador, simplesmente somamos ou subtraímos os numeradores e escrevemos o resultado sobre o denominador comum.
Quando os denominadores não são iguais, devemos manipulá-los para que eles se tornem iguais. Em outras palavras, temos que encontrar um denominador comum.
Se isso é novidade para você, você pode querer ver primeiro os seguintes artigos:

O que você vai aprender nessa lição

Nessa lição, você vai praticar a soma e a subtração de expressões racionais com denominadores diferentes. Você vai usar o menor denominador comum como seu denominador comum nesses exemplos e explorar por que é vantajoso fazer isso.

Aquecimento: start fraction, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction, minus, start fraction, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction

Para subtrair duas expressões racionais, cada fração deve ter o mesmo denominador.
Neste exemplo, podemos criar um denominador comum multiplicando a primeira fração por left parenthesis, start fraction, x, plus, 1, divided by, x, plus, 1, end fraction, right parenthesis e a segunda fração por left parenthesis, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, right parenthesis.
Então, podemos subtrair os numeradores e escrever o resultado sobre o denominador comum.
=3x−2−2x+1=3x−2(x+1x+1)−2x+1(x−2x−2)=3(x+1)(x−2)(x+1)−2(x−2)(x+1)(x−2)=3(x+1)−2(x−2)(x−2)(x+1)=3x+3−2x+4(x−2)(x+1)=x+7(x−2)(x+1)\begin{aligned} &\phantom{=}{\dfrac{3}{\blueE{x-2}}-\dfrac{2}{\greenE{x+1}}} \\\\ &=\dfrac{3}{\blueE{x-2}}{\left(\greenE{\dfrac{x+1}{x+1}}\right)}-\dfrac{2}{\greenE{x+1}}{\left(\blueE{\dfrac{x-2}{x-2}}\right)} \\\\ &=\dfrac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)}-\dfrac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)} \\\\ &=\dfrac{3(x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{3x+3-2x+4}{(x-2)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{x+7}{(x-2)(x+1)} \end{aligned}

Teste seu conhecimento

Problema 1
Some.
O numerador deve ser expandido e simplificado. O denominador deve ser expandido ou fatorado.
start fraction, 5, x, divided by, x, plus, 3, end fraction, plus, start fraction, 4, divided by, x, plus, 2, end fraction, equals

Mínimo denominador comum

Frações numéricas

Às vezes, os denominadores de duas frações são diferentes, mas compartilham alguns fatores.
Por exemplo, considere start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction:
=34+16=32⋅2+12⋅3=32⋅2(33)+12⋅3(22)=912+212=1112\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6} \\\\ &=\dfrac{3}{\blueE2\cdot \greenE2}+\dfrac{1}{\blueE2\cdot \goldE3} \\\\ &=\dfrac{3}{\blueE2\cdot \greenE2} {\left(\dfrac{\goldE3}{\goldE3}\right)}+\dfrac{1}{\blueE2\cdot\goldE3}{\left(\dfrac{\greenE2}{\greenE2}\right)} \\\\ &=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12} \\\\ &=\dfrac{11}{12} \end{aligned}
Observe que o denominador comum usado nesse exemplo não era o produto dos dois denominadores individuais (24). Em vez disso, ele era o mínimo múltiplo comum de 4 e 6 (12).
O mínimo múltiplo comum dos denominadores em duas ou mais frações é chamado de menor denominador comum.

Expressões variáveis

Agora vamos aplicar esse raciocínio para realizar a soma a seguir:
start fraction, 2, divided by, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
Primeiramente, vamos encontrar o mínimo denominador comum:
2(x−2)(x+1)⏟Precisa de umfator de (x+3)+3(x+1)(x+3)⏟Precisa de umfator de (x−2)\underbrace{\dfrac{2}{\blueE{(x-2)}\greenE{(x+1)}}}_{\begin{aligned} &\scriptsize\text{Precisa de um} \\ &\scriptsize\text{fator de } \\ &\scriptsize \purpleD{(x+3)} \end{aligned}}+\underbrace{\dfrac{3}{\greenE{(x+1)}\purpleD{(x+3)}}}_{\begin{aligned} &\scriptsize\text{Precisa de um} \\ &\scriptsize\text{fator de } \\ &\scriptsize \blueE{(x-2)} \end{aligned}}
Assim, o mínimo denominador comum é start color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #0d923f, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end color #0d923f, start color #7854ab, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #7854ab.
Podemos somar as expressões racionais assim:
=2(x−2)(x+1)+3(x+1)(x+3)=2(x−2)(x+1)(x+3x+3)+3(x+1)(x+3)(x−2x−2)=2(x+3)(x−2)(x+1)(x+3)+3(x−2)(x+1)(x+3)(x−2)=2(x+3)+3(x−2)(x−2)(x+1)(x+3)=2x+6+3x−6(x−2)(x+1)(x+3)=5x(x−2)(x+1)(x+3)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{\blueE{(x-2)}\greenE{(x+1)}}+\dfrac{3}{\greenE{(x+1)}\purpleD{(x+3)}} \\\\ &=\dfrac{2}{\blueE{(x-2)}\greenE{(x+1)}}{\left(\purpleD{\dfrac{x+3}{x+3}}\right)}+\dfrac{3}{\greenE{(x+1)}\purpleD{(x+3)}}{\left(\blueE{\dfrac{x-2}{x-2}}\right)} \\\\ &=\dfrac{2(x+3)}{(x-2)(x+1)(x+3)}+\dfrac{3(x-2)}{(x+1)(x+3)(x-2)} \\\\ &=\dfrac{2(x+3)+3(x-2)}{(x-2)(x+1)(x+3)} \\\\ &=\dfrac{2x+6+3x-6}{(x-2)(x+1)(x+3)} \\\\ &=\dfrac{5x}{(x-2)(x+1)(x+3)} \end{aligned}

Teste seu conhecimento

Problema 2
Some.
O numerador deve ser expandido e simplificado. O denominador deve ser expandido ou fatorado.
start fraction, 1, divided by, x, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, equals

Problema 3
Subtraia.
O numerador deve ser expandido e simplificado. O denominador deve ser expandido ou fatorado.
start fraction, 3, x, divided by, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, end fraction, minus, start fraction, 4, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end fraction, equals

Desafio
Some.
O numerador deve ser expandido e simplificado. O denominador deve ser expandido ou fatorado.
start fraction, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, end fraction, equals

Por que usar o mínimo denominador comum?

Você pode estar se perguntando por que é tão importante usar o mínimo denominador comum para somar ou subtrair expressões racionais.
Afinal de contas, isso não é uma exigência, e é bastante fácil usar outros denominadores com frações numéricas.
Por exemplo, a tabela abaixo calcula start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction utilizando dois denominadores comuns diferentes: um usando o mínimo denominador comum (12) e o outro, o produto de dois denominadores (24).
Mínimo denominador comum (12)Denominador comum (24)
 34+16=34(33)+16(22)=912+212=111212\begin{aligned}~\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}&=\dfrac{3}{\blueE4} {\left(\dfrac{\goldE3}{\goldE3}\right)}+\dfrac{1}{\greenE6}{\left(\dfrac{\purpleD2}{\purpleD2}\right)}\\\\&=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12}\\\\&=\dfrac{11}{12}\\\\&\phantom{\dfrac{1}{2}}\end{aligned}34+16=34(66)+16(44)=1824+424=2224=1112\begin{aligned}\dfrac{3}{\blueE4}+\dfrac{1}{\greenE6}&=\dfrac{3}{\blueE4}\left(\greenE{\dfrac{6}{6}}\right)+\dfrac{1}{\greenE6}\left(\blueE{\dfrac{4}{4}}\right)\\\\&=\dfrac{18}{24}+\dfrac{4}{24}\\\\&=\dfrac{22}{24}\\\\&=\dfrac{11}{12}\end{aligned}
Observe que, quando usamos 24 como o denominador comum, foi necessário mais trabalho. Os números foram maiores e a fração resultante precisou ser simplificada.
Isso também vai acontecer se você não usar o menor denominador comum ao somar ou subtrair expressões racionais.
Entretanto, com expressões racionais, esse processo é muito mais difícil porque os numeradores e denominadores serão polinômios em vez de números inteiros! Você vai precisar usar a aritmética para lidar com polinômios de alto grau e fatorar polinômios para simplificar a fração.
Todo esse trabalho extra pode ser evitado usando o menor denominador comum ao somar ou subtrair expressões racionais.

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