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Pré-cálculo

Curso: Pré-cálculo > Unidade 4

Lição 7: Soma e subtração de expressões racionais

Introdução à soma e à subtração de expressões racionais

Aprenda a somar ou subtrair duas expressões racionais em uma única expressão.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma expressão racional é um quociente de dois polinômios. Por exemplo, a expressão start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction é uma expressão racional.

Se você não estiver familiarizado com expressões racionais, é importante conferir nossa Introdução às expressões racionais.

O que você vai aprender nessa lição

Nesta lição, você vai aprender a somar e subtrair expressões racionais.

Soma e subtração de expressões racionais (denominadores comuns)

Frações numéricas

Podemos somar e subtrair expressões racionais, em grande parte, da mesma forma que somamos e subtraímos frações numéricas.

Para somar ou subtrair duas expressões numéricas com o mesmo denominador, simplesmente somamos ou subtraímos os numeradores e escrevemos o resultado sobre o denominador comum.

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueE4}{\purpleD5}-\dfrac{\blueE1}{\purpleD5} \\\\ &=\dfrac{\blueE{4}-\blueE{1}}{\purpleD 5} \\\\ &=\dfrac{3}{5} \end{aligned}

Expressões variáveis

O processo é o mesmo com expressões racionais:

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueE{7a+3}}{\purpleD{a+2}}+\dfrac{\blueE{2a-1}}{\purpleD{a+2}} \\\\ &=\dfrac{(\blueE{7a+3})+(\blueE{2a-1})}{\purpleD{a+2}} \\\\ &=\dfrac{{7a+3}+{2a-1}}{{a+2}} \\\\ &=\dfrac{9a+2}{a+2} \end{aligned}

É interessante colocar os numeradores entre parênteses, especialmente ao subtrair expressões racionais. Desta forma, somos lembrados de fazer a distribuição do sinal negativo!

Por exemplo:

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{\blueE{b+1}}{\purpleD{b^2}}-\dfrac{\blueE{4-b}}{\purpleD{b^2}} \\\\ &=\dfrac{(\blueE{b+1})-(\blueE{4-b})}{\purpleD{b^2}} \\\\ &=\dfrac{b+1-4+b}{{b^2}} \\\\ &=\dfrac{2b-3}{b^2} \end{aligned}

Teste seu conhecimento

Problema 1

Some.

start fraction, x, plus, 5, divided by, x, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, minus, 1, end fraction, equals

Problema 2

Subtraia.

start fraction, x, plus, 1, divided by, 2, x, end fraction, minus, start fraction, 5, x, minus, 2, divided by, 2, x, end fraction, equals

Soma e subtração de expressões racionais (denominadores diferentes)

Frações numéricas

Para entender como somar ou subtrair expressões racionais com denominadores diferentes, primeiramente vamos examinar como isso é feito com frações numéricas.

Por exemplo, vamos calcular start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{\blueE3}+\dfrac{1}{\tealE2} \\\\ &=\dfrac{2}{\blueE3} \left(\tealE{\dfrac{2}{2}}\right)+\dfrac{1}{\tealE2}\left( \blueE{\dfrac{3}{3}}\right) \\\\ &=\dfrac{4}{6}+\dfrac{3}{6} \\\\ &=\dfrac{7}{6} \end{aligned}

Observe que foi necessário um denominador comum de 6 para somar as duas frações:

O denominador da primeira fração (start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99) precisou de um fator de start color #208170, 2, end color #208170.
O denominador da segunda fração (start color #208170, 2, end color #208170) precisou de um fator de start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99.
Para se obter isso, cada fração foi multiplicada por uma forma de 1.

Expressões variáveis

Agora vamos aplicar isso ao seguinte exemplo:

start fraction, 1, divided by, start color #0c7f99, x, minus, 3, end color #0c7f99, end fraction, plus, start fraction, 2, divided by, start color #208170, x, plus, 5, end color #208170, end fraction

Para que os dois denominadores sejam iguais, o primeiro precisa de um fator de start color #208170, x, plus, 5, end color #208170 e o segundo precisa de um fator de start color #0c7f99, x, minus, 3, end color #0c7f99. Vamos manipular as frações para fazer isso. Depois, podemos somar como de costume.

\begin{aligned} &\phantom{=}{\dfrac{1}{\blueE{x-3}}+\dfrac{2}{\tealE{x+5}}} \\\\ &=\dfrac{1}{\blueE{x-3}}{\left(\tealE{\dfrac{x+5}{x+5}}\right)}+\dfrac{2}{\tealE{x+5}}{\left(\blueE{\dfrac{x-3}{x-3}}\right)} \\\\ &=\dfrac{1(x+5)}{(x-3)(x+5)}+\dfrac{2(x-3)}{(x+5)(x-3)} \\\\ &=\dfrac{1(x+5)+2(x-3)}{(x-3)(x+5)} \\\\ &=\dfrac{1x+5+2x-6}{(x-3)(x+5)} \\\\ &=\dfrac{3x-1}{(x-3)(x+5)} \end{aligned}

Observe que o primeiro passo é possível porque start fraction, x, plus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction e start fraction, x, minus, 3, divided by, x, minus, 3, end fraction são iguais a 1, e a multiplicação por 1 não altera o valor da expressão!

[E quanto aos valores restritos?]

Nos dois últimos passos, reescrevemos o numerador. Embora você também possa expandir left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis no denominador, é comum deixar a expressão na forma fatorada.

Teste seu conhecimento

Problema 3

Some.

start fraction, 3, divided by, x, plus, 4, end fraction, plus, start fraction, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, equals

Problema 4

Subtraia.

start fraction, 2, divided by, x, minus, 1, end fraction, minus, start fraction, 5, divided by, x, end fraction, equals

E agora?

Nosso próximo artigo abrange mais exemplos de soma e subtração de expressões racionais.

Você vai aprender sobre o menor denominador comum, e por que é importante usá-lo como o denominador comum ao somar ou subtrair expressões racionais.

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Pedro Henrique
Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Como responde os exercíci...” de Pedro Henrique
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