Mínimo múltiplo comum de polinômios

RKA - O exercício pede que encontremos o mínimo múltiplo comum, MMC, desses dois polinômios. O primeiro: 3z³ - 6z² - 9z. E o segundo: 7z⁴ + 21z³ + 14z². Uma maneira muito comum de se encontrar o MMC é comparando as tabuadas. Suponha, por exemplo, o 4 e o 6. Temos a tabuada do 4: 8, 12, 16, 20, 24... E do 6: 12, 18, 24, 30, 36 e assim por diante. Podemos ver aqui, comparando essas duas, que há muitos múltiplos comuns, por exemplo: 24 e 24. Mas queremos o menor múltiplo comum, e isso nos leva diretamente ao 12. 12 é o menor múltiplo comum dessas duas tabuadas, entre 4 e 6. Note que um outro jeito de se encontrar o MMC é pensarmos na sua composição. O 4 é composto por 2 vezes 2, ao passo que o 6 é 2 vezes 3. Então, o MMC entre 4 e 6 é composto por todos os elementos de um, e o que restar do outro. Isto é... Suponha o 4: 2 vezes 2. Temos aqui 2 vezes 2. O 6 é 2 vezes 3. O 2 já existe aqui, mas o 3, não. Então, colocamos aqui junto a eles o 3. Temos 2 vezes 2, 2 já existe... 3. 2 vezes 2 vezes 3, 12. Que é exatamente o menor múltiplo comum encontrado entre as duas tabuadas. Agora, pensemos em polinômios. Uma maneira de encontrar um múltiplo desses dois polinômios, é multiplicando ambos. Mas nós não queremos qualquer múltiplo, nós queremos o menor múltiplo comum. Vamos adotar um raciocínio parecido com o que desenvolvemos aqui para esses polinômios. Vamos, então, fatorar o primeiro polinômio. Temos aqui: 3z³ - 6z² - 9z. Podemos notar, logo de cara, que 3z é um fator comum em toda a equação. Então, isolamos o 3z e multiplicamos por z², porque 3z³ dividido por 3z dá z². -6z² dividido por 3z, -2z. -9z dividido por 3z, -3. Agora, vamos considerar apenas a esta parte aqui. Quais são os dois números que, multiplicados, dão -3, e quando somados vezes -1, dá -2? Esses números são -1 e +3. Então, podemos dizer que essa equação, em sua forma mais fatorada, é equivalente a 3z vezes z + 1 vezes z - 3. Façamos o mesmo com o segundo polinômio. Agora, de maneira semelhante, podemos ver que 7z² é um fator comum em todos os elementos. E, então, escrevemos como: 7z² vezes... 7z⁴ dividido por 7z², z². 21z³ dividido por 7z², 3z. E 14z² por 7z², 2. Analogamente, os dois números que multiplicados dão 2, e a soma vezes -1 dá 3, são -2 e -1. Então, podemos reescrever esse polinômio como 7z² vezes z + 1 vezes z + 2. Lembre-se que o menor múltiplo comum entre esses dois polinômios tem que ser a multiplicação entre todos os fatores que compõem cada um, desde que eles não sejam repetidos entre ambos. Assim como fizemos com o 4 e o 6. Então, vamos lá. O menor múltiplo comum... Vamos começar com os fatores do primeiro polinômio. É 3z vezes z + 1 vezes z - 3. Quando considerarmos o segundo polinômio, vemos aqui: 7. Não existe 7 aqui. Então, vamos jogar esse 7 para cá... E, 7z²... Já temos um z aqui multiplicando. Então, esse é o quadrado, vai passar pra cá. Poderíamos escrever, por exemplo, 7z vezes 3z. Mas isso ficaria: 7 vezes 3z². De maneira análoga, vamos continuar: z + 2 também não existe aqui. E passamos ele para cá. Temos, desta maneira, o menor múltiplo comum como: 7, vem daqui, vezes 3z, daqui, vezes z, porque aqui está o quadrado, e já está repetindo o z, então z²... Vezes z + 1, vezes z - 3, vezes z + 2. Resolvendo isso, o menor múltiplo comum dos dois polinômios é: 21z² vezes z + 1 vezes z - 3 vezes z + 2. E é isso.