Comportamento final de funções racionais

RKA3JV - Qual a tendência de f(x) quando "x" tende a "-∞" ? Para analisar esta questão, podemos pegar apenas os termos que tenham o coeficiente dominante. Ou seja, essa função, quando se aproxima de -∞, os termos de coeficiente dominante é que vão influenciar na tendência da função. Portanto, nós temos 7x² sobre 15x. Uma vez que o x² cresce muito mais rápido do que "x". Ou seja, quando ele tende a infinito, quando você pega um número muito grande, um bilhão, um trilhão, um googol, que é 10 elevado a 100, este termo cresce de maneira mais devagar. Portanto, ele não representa tanto quanto este termo ao quadrado. Entre estes dois termos, isso aqui é uma soma. Quando "x" tende a -∞, ele não vai influenciar em nada. Agora, vamos analisar em termos de sinal. x² vai ser sempre positivo e este 15x é que vai dar o sinal de onde vai tender essa função. Mas podemos simplificar, pois vai dar o sinal do próprio "x". Ou seja, nós podemos simplesmente dizer que é 7x sobre 15. Quando "x" tende a -∞, temos "x" tendendo a -∞. E toda essa fração vai tender a -∞. Outra maneira de você pensar é fazer o seguinte artifício, você divide todos os termos por "x". Ou seja, você pega 7x² - 2x e 15x + 5 e multiplica por 1/x. Ou seja, se você multiplica o numerador e o denominador, não vai alterar. Nós temos 7x²/x vai dar 7x. menos 2x/x vai dar 2. Sobre, 15x dividido por "x" vai dar 15. + 5/x. Agora, vamos observar quais são as tendências. 2 é um número, não vai influenciar no resultado. O 15 também não vai influenciar no resultado. Aqui temos 5/x e "x" está tendendo a -∞. Ou seja, este valor está tendendo a zero. Então, temos um 15 no denominador. Temos -2, que é uma constante. E temos 7 vezes "x", onde "x" está tendendo a -∞. Isso significa que essa conta está tendendo a -∞/15, não vai alterar absolutamente nada. Ou seja, ele vai tender a -∞. Vamos fazer outra questão. Encontre a assíntota horizontal de q(x). Onde q(x) é 6x⁵ - 2 / 3x² + x⁹. Vamos ver a assíntota horizontal, ela pode ter uma aproximação de várias formas. Uma das formas é uma forma desse tipo aqui, você tem uma função qualquer e ela tende a esta assíntota, dessa forma. A assíntota é uma tendência da função, quando a função tende a mais ou a menos infinito. Ela também pode ser uma coisa desse tipo aqui. Ou seja, ela tende a essa assíntota. Vamos colocar essa assíntota como um número qualquer, 5. Ou seja, ela está tendendo a 5 quando vai para +∞. E quando vai para -∞, também pode tender dessa forma. Como ela pode, também, tender de outra forma. Vamos colocar aqui uma assíntota e colocar uma outra forma diferente de tender. A assíntota pode tender de uma forma, deste tipo aqui. Ou seja, ela pode fazer tender para o número, vamos supor o número -3. Então, ela está tendendo a essa assíntota -3 quando "x" tende a +∞ ou -∞. Ou seja, isso é o caso da assíntota. Então, nosso estudo aqui como ele quer a assíntota horizontal, não vamos nos preocupar com as raízes. Por exemplo, quando o "x" for zero, dá zero no denominador, e, obviamente, ele vai ter uma assíntota vertical em "x = 0". Mas como ele quer horizontal, vamos nos preocupar apenas com as tendências para +∞ e para -∞. Para isso, podemos fazer de duas formas distintas. A primeira forma, vamos dividir todos os termos por x⁹. Ou seja, você tem 6 vezes x⁵ dividido por x⁹. Vamos ficar com 6 sobre x⁴ menos 2 sobre x⁹ dividido por 3 vezes x², dividido por x⁹, vai ficar 3 / x⁷, mais x⁹/ x⁹ vai dar 1. Então, vamos ver quais são as tendências, quando "x" tende a +∞ e a -∞ no termo 6 / x⁴, se estendendo a mais ou menos infinito, vai tornar isso um zero. No termo 2 sobre x⁹, quando "x" tende a +∞ ou -∞ esse termo também tende a zero. A mesma coisa acontece com 3 sobre x / 7. Ou seja, este termo tende a zero. Como nós temos no denominador um termo que é diferente de zero, significa que toda essa função está tendendo a zero. Outra maneira de fazer é pegar apenas os termos dos coeficientes dominantes, ou seja, você pega o 6 vezes x⁵ sobre x⁹ e nós vamos ter 6 sobre "x". Obviamente, aproximadamente porque estamos tendendo a mais ou menos infinito. Então, temos 6 / x⁴ com "x" tendendo a mais ou menos infinito. Temos um termo no denominador tendendo a infinito ou a menos infinito. Ou seja, o termo como um todo vai tender a zero. Portanto, pela segunda maneira de raciocinar, também temos que "x" tende a zero. Ou seja, ele vai ter uma assíntota em zero, ele vai ter uma assíntota no eixo das abscissas. Vamos fazer mais uma questão. O que acontece com f(x) quando "x" tende a menos infinito? Então, temos f(x), tem uma divisão de 2 polinômios. Podemos examinar de duas formas. A primeira, vamos pegar os termos dos coeficientes dominantes, ou seja, f(x) e colocar na forma de 3x⁴ / x⁴. Desprezando todo o resto, uma vez que os coeficientes dominantes é que vão determinar qual é a tendência da função. Então, temos x⁴ por x⁴, e temos a função tendendo ao ponto 3. Outra maneira de abordar essa questão e raciocinar em cima dela é dividir todos os termos por x⁴. Ou seja, nós temos o primeiro termo 3x⁴ dividido por x⁴, vai ficar 3, menos 7x² / x⁴ vai ficar 7 / x², menos 1 / x⁴. Dividimos todos por x⁴ e vamos dividir o denominador também. Lembre-se que quando "x" tende a menos infinito, então, não estamos introduzindo zero aqui. x⁴ sobre x⁴, igual a 1, menos 2x³ / x⁴ vai ficar 2 sobre "x" mais 3 / x⁴. Agora, vamos ver membro a membro, o que vai acontecer com cada um. 3 não está dependendo de "x" 7 / x². Quando "x" tende a -∞, ele vai para zero. 1 / x⁴, quando "x" tende a -∞, este termo também vai para zero. 1 não vai modificar em nada. Nós temos 2 / x. Quando "x" tende a -∞, este termo tende a zero. E, finalmente, quando 3 sobre x⁴, quando "x" tende a -∞, x⁴ tende a -∞, este termo tende a zero. Ou seja, a função tende a 3.