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Gráficos de funções racionais: zeros

Neste vídeo, escolhemos o gráfico que corresponde a f(x)=(2x²-18)/g(x) (em que g(x) é um polinômio) com base em seus zeros.

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Transcrição de vídeo

RKA - Seja a função f(x) = 2x² - 18 dividido por g(x), onde g(x) é um polinômio. Qual dos gráficos abaixo é uma possível representação para f(x)? Ou seja, para y = f(x). As linhas tracejadas representam assíntotas. A primeira coisa que devemos fazer, antes mesmo de iniciar o problema, é fatorar o máximo possível o nosso numerador, pois... Essa questão é muito interessante, uma vez que ele coloca um polinômio totalmente desconhecido embaixo, e quer saber um possível gráfico para essa função que nós conhecemos apenas o numerador. Ou seja, nós temos 2, podemos colocar o 2 em evidência, e ficamos com x² - 9. A próxima coisa que devemos fazer é tentar abrir ainda mais esse polinômio, ou seja, fatorar mais ainda. Nós temos x² - 9. Isso é o produto da soma pela diferença, portanto, fazemos x + 3 vezes x - 3. Dividido por g(x). Lembre-se: o produto da soma pela diferença... Se você não está familiarizado com essa conta, veja os vídeos que falam a respeito pela Khan Academy. O segundo passo é: nós temos agora nossa função colocada em fatores bastante simples, e podemos identificar os possíveis zeros dessa equação, pois temos um possível 0 em 3 e em -3. Tanto em 3, ela tende a 0 no numerador, como em -3 ela tende a 0 no numerador. Ou seja, se o gráfico... Se nós tivermos dois zeros, um em -3 e outro em +3, é um possível gráfico. Nós temos o D que possui raízes, e as raízes não estão em -3 e em 3. Então, nós podemos desprezar o gráfico D. O gráfico C, ele tem um ponto de indeterminação no ponto 3. Isso é possível pois a nossa função, a g(x), pode ser uma função do tipo: f(x) = 2 vezes x + 3x vezes x - 3 dividido por... g(x) poderia ter um ponto de indefinição em 3 se tivesse aqui um x - 3 vezes qualquer coisa. Ou seja, nesse ponto, ele seria indefinido. Mas a assíntota vertical aqui, que está sendo colocada, está sendo colocada no ponto 2. Esse ponto aqui é 2. Esse ponto aqui é -2. Está sendo colocada no ponto -2, o que não tem nenhum significado. Portanto, podemos desprezar o gráfico C. O gráfico D tem uma raiz no ponto 3, está OK? Mas a assíntota vertical é no ponto 2. E a assíntota vertical no ponto 2, como ele não tem outra raiz, não tem nada acontecendo aqui de interessante no ponto -3. Ou ele teria que ser ou um 0, ou ter uma assíntota aqui. Ou seja, o gráfico B pode ser desprezado. Agora, vamos justificar o gráfico A. O gráfico A tende a -2. Ele tende a -2. Ele tem uma assíntota em -2. Ele tem a raiz em 3. Ele tem a raiz em 3, ele tem a tendência a -2 tanto de um lado quanto de outro. E, no ponto -3, ele é indefinido. Ou seja, nossa função... Na realidade, a função que está embaixo pode ser algo do tipo... Em cima não tem jeito, em cima vamos repetir. Temos 2x + 3 vezes x - 3. E embaixo... Vamos ver. Nós temos uma raiz, ou seja, se temos uma raiz em 3, significa que não temos um termo x - 3 aqui embaixo. Então, vamos deixar de lado. Mas temos uma assíntota em x = -3. Ou seja, ela tende a menos infinito ou a mais infinito. Ela não é um ponto de indeterminação dessa forma que foi colocada na letra C. Ela é um ponto de determinação que tende a mais infinito ou menos infinito. Ou seja, se tende a mais ou a menos infinito, podemos colocar uma expressão do tipo: x + 3 vezes qualquer outro polinômio. Qualquer outro, x + 1... Qualquer coisa. x + 3 elevado ao quadrado. Pois, como nós temos um fator embaixo elevado ao quadrado, ele, primeiro, não vai simplificar com x - 3. Portanto, ele vai ter um 0 em x - 3, que é o que mostra aqui o gráfico. Então, está OK. Segundo, o fator dominante vai ser o x² quando o x tender a -3. Ou seja, quando x tender a -3... Simplifica x + 3 com x², e ficamos com x - 3 no denominador na tendência a -3. Podendo ser para mais ou menos infinito. Nesse caso, como ele tende para mais infinito vindo pela direita, significa que valores superiores a -3, ou seja: -2, -2,9, quando esse cara dá positivo, ele tende a mais infinito, o que está de acordo. Quando ele tende a -3 pelo lado esquerdo, ou seja, com valores menores que -3, -3,1, etc., você tem que: -3,1 + 3 vai dar -0,1. Ou seja, você vai dar um número negativo aqui embaixo muito pequeno tendendo a menos infinito. Portanto, o gráfico que melhor representa esse tipo de função é o gráfico A.