Problema de equações racionais: razões combinadas (exemplo 2)

RKA1MP Ana e Bruno trabalharam juntos e envernizaram uma varanda em 8 horas. No ano passado, a Ana envernizou a varanda sozinha. Um ano antes, o Bruno envernizou sozinho, mas demorou o dobro que a Ana. Quanto tempo cada um deles demorou quando envernizaram a varanda sozinhos? Vamos definir algumas variáveis. Vamos definir A, vamos definir A como um número de horas, o número de horas que a Ana demora para envernizar a varanda. E dá para falar que a Ana pinta ou tem A horas para uma varanda. Ou podemos inverter e dizer que ela pode envernizar 1 sobre A varandas por hora. Agora, vamos fazer uma outra variável para o Bruno como essa. Vamos definir B como o número de horas que o Bruno demora para pintar uma varanda. O Bruno pode pintar, ele demora B horas por varanda. Dá para colocar sobre 1 ali se quiser, não somos obrigados. E isso equivale a dizer que ele pode pintar uma varanda a cada B horas. Ou, outra forma de encarar, é que ele consegue fazer 1 sobre B varandas por hora. Quando eles trabalham juntos, Ana e o Bruno pintaram uma varanda grande em 8 horas. Vamos escrever: Ana mais Bruno, vou fazer em laranja, Ana e Bruno. Essa informação bem aqui, Ana e Bruno pintaram uma varanda grande em 8 horas, a gente pode falar 8 horas por varanda ou 8 horas por uma varanda que é a mesma coisa que dizer uma varanda por 8 horas. Esta será a combinação de cada uma das velocidades. Esta, uma varanda por 8 horas, vai ser igual à velocidade da Ana, 1 sobre A varandas por hora mais a velocidade do Bruno, mais, vou fazer na mesma cor, mais 1 sobre B varandas por hora. Então, já montamos uma equação. Vou descer um pouquinho. Não vou mais escrever as unidades. Tem 1/8 é igual a 1 sobre A mais 1 sobre B. Mais 1 sobre B. Agora, a gente tem dois desconhecidos, então precisamos de outra equação para conseguir solucionar aqui. Falam que, no ano anterior, o Bruno pintou sozinho, mas demorou o dobro que a Ana. O número de horas que o Bruno demora para pintar é o dobro do número de horas que a Ana demora para pintar. B é igual a 2A. O número de horas que o Bruno demora é o dobro do número de horas que a Ana demora por varanda. B é igual a 2A. Dá para reescrever essa equação como, vou ficar com essas cores por enquanto. Podemos dizer que 1/8 é igual a 1 sobre A, ao invés de escrever 1 sobre B, devemos escrever mais 1 sobre B, é 2 vezes A. O número de horas que o Bruno demora é 2 vezes o número de horas que Ana demora, 2 vezes A. Agora, tem uma equação com uma letra desconhecida e dá para calcular A. A forma mais fácil de calcular A é se, simplesmente, multiplicar os dois lados da equação por 2A. Vamos multiplicar os dois lados disso por 2A. Na verdade, a gente vai multiplicar os dois lados por 8a. E vamos nos livrar desse 1/8 também. E, daí, multiplicamos o lado direito por 8a também. O lado esquerdo, 8a dividido por 8 é só A. A igual a 1 sobre A vezes 8a, vai ser 8. 1 sobre 2A vezes 8a, 8a dividido por 2A é 4. A, a número de horas que Ana demora para pintar uma varanda e deixei em minúsculo e não deveria. Bom, tudo deveria ser A maiúsculo. Isso é "A" igual a 8A sobre "A" que é 8. 8A a sobre 2A é 4. O número de horas que Ana demora para pintar uma varanda ou "A" é 12 horas. O que eles estão perguntando? Estão perguntando quanto tempo Ana e Bruno demoraram quando cada um pintava sozinho. Já solucionamos a Ana. Ela demora 12 horas e sabemos que o Bruno demora o dobro que a Ana. O Bruno é 2 vezes A. O Bruno será 2 vezes 12. O Bruno é igual a 2 vezes a Ana, que é igual a 2 vezes 12 horas, que é igual a 24 horas. Então, quando eles estão sozinhos, a Ana demora 12 e o Bruno 24 horas. Quando trabalham juntos, demoram 8 horas. E faz sentido porque, se o Bruno demorou 12 horas sozinho, junto eles demorariam 6 horas, portanto demorariam metade do tempo. Mas, o Bruno não é tão eficiente quanto a Ana e demora um pouco mais, demoram 8 horas, mas faz sentido que, juntos, eles demorem menos do que individualmente.