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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 4
Lição 1: Simplificação de expressões racionaisSimplificação de expressões racionais
Saiba o que significa simplificar uma expressão racional e como isso é feito!
Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição
Uma expressão racional é uma razão de dois polinômios. O domínio de uma expressão racional é formado por todos os números reais, exceto aqueles que tornam o denominador igual a zero.
Por exemplo, o domínio da expressão racional start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction é formado por todos os números reais, exceto start text, negative, 1, end text, ou x, does not equal, minus, 1.
Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nossa introdução às expressões racionais.
Você também deveria saber como fatorar polinômios para esta lição.
O que você vai aprender nessa lição
Neste artigo, vamos aprender a simplificar expressões racionais vendo vários exemplos.
Introdução
Uma expressão racional é considerada simplificada se o numerador e o denominador não tiverem fatores em comum.
Podemos simplificar as expressões racionais da mesma forma como simplificamos frações numéricas.
Por exemplo, a versão simplificada de start fraction, 6, divided by, 8, end fraction é start fraction, 3, divided by, 4, end fraction. Observe como cancelamos um fator comum igual a 2 do numerador e do denominador:
Exemplo 1: Simplificação de start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction
Etapa 1: fatore o numerador e o denominador
A única maneira de saber se o numerador e o denominador compartilham fatores comuns é fatorá-los!
Etapa 2: registre os valores restritos
Neste ponto, é interessante notar quaisquer restrições sobre x. Elas serão mantidas na expressão simplificada.
Como a divisão por 0 é indefinida, vemos aqui que start color #0c7f99, x, does not equal, 0, end color #0c7f99 e start color #7854ab, x, does not equal, minus, 5, end color #7854ab.
Etapa 3: cancele fatores comuns
Agora, observe que o numerador e o denominador compartilham um fator comum igual a x. Ele pode ser cancelado.
Etapa 4: resposta final
Lembre-se de que a expressão original é definida para x, does not equal, 0, comma, minus, 5. A expressão simplificada deve ter as mesmas restrições.
Por isso, temos que observar que x, does not equal, 0. Não precisamos observar que x, does not equal, minus, 5, pois isso é compreendido a partir da expressão.
Conclusão, a forma simplificada é escrita assim:
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction para x, does not equal, 0
Uma observação sobre expressões equivalentes
Expressão original | Expressão simplificada |
---|---|
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction | start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction para x, does not equal, 0 |
As duas expressões acima são equivalentes. Isso significa que seus valores de saída são iguais para todos os valores possíveis de x. A tabela abaixo ilustra isso para x, equals, 2.
Expressão original | Expressão simplificada | ||
---|---|---|---|
Cálculo para start color #7854ab, x, equals, 2, end color #7854ab | |||
Observação | O resultado é simplificado ao cancelarmos um fator comum igual a start color #7854ab, 2, end color #7854ab. | O resultado já está simplificado porque o fator de x (neste caso start color #7854ab, x, equals, 2, end color #7854ab), já foi cancelado durante o processo de simplificação. |
Por isso, as duas expressões têm o mesmo valor para a mesma entrada. No entanto, os valores que tornam a expressão original indefinida costumam quebrar esta regra. Observe que esse é o caso de start color #7854ab, x, equals, 0, end color #7854ab.
Expressão original | Expressão simplificada (sem restrição) | ||
---|---|---|---|
Cálculo para start color #7854ab, x, equals, 0, end color #7854ab |
Como as duas expressões devem ser equivalentes para todas as entradas possíveis, precisamos exigir x, does not equal, 0 para a expressão simplificada.
Alerta de erro de conceito
Observe que não podemos cancelar x na expressão abaixo. Isso porque eles são termos, e não fatores dos polinômios!
Isso fica claro quando vemos um exemplo numérico. Por exemplo, suponha que start color #7854ab, x, equals, 2, end color #7854ab.
Como regra, só podemos cancelar se o numerador e o denominador estiverem na forma fatorada!
Resumo do processo de simplificação
- Etapa 1: fatore o numerador e o denominador.
- Etapa 2: liste os valores restritos.
- Etapa 3: cancele os fatores comuns.
- Etapa 4: simplifique e observe quaisquer valores restritos não indicados pela expressão.
Teste seu conhecimento
Exemplo 2: Simplificação de start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction
Etapa 1: fatore o numerador e o denominador
Etapa 2: registre os valores restritos
Como a divisão por 0 é indefinida, aqui vemos que start color #0c7f99, x, does not equal, minus, 2, end color #0c7f99 e start color #7854ab, x, does not equal, minus, 3, end color #7854ab.
Etapa 3: cancele fatores comuns
Observe que o numerador e o denominador compartilham um fator comum igual a start color #208170, x, plus, 3, end color #208170. Ele pode ser cancelado.
Etapa 4: resposta final
Escrevemos a forma simplificada assim:
start fraction, x, minus, 3, divided by, x, plus, 2, end fraction para x, does not equal, minus, 3
A expressão original exige x, does not equal, minus, 2, comma, minus, 3. Não precisamos observar que x, does not equal, minus, 2, pois isso é compreendido a partir da expressão.
Teste sua compreensão
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- Não entendi porque no teste 3 a fatoração de x^2-3x+2 ficou (x-2)(x-1) . Não entendo porque ficou negativo. Alguém poderia me ajudar?(1 voto)
- Gustavo, faça (x-2)(x-1), dá exatamente x²-3x+2... veja que a=1, b=-3 e c=2, então aqui (a=1) você pode fatorar, se achar os dois números que somados dá "-3" e multiplicados dá "2", então são "-2" e "-1"... assim as raizes da função associada à expressão são "2" e "1", que são os valores que zeram a função :)(5 votos)
- Não estou achando a resposta : Como simplificar ,X2 + 5 / x + 5(2 votos)
- alguem pode me ajudar a simplificar x/(x+1)(1 voto)
- Alguém pode me ajudar a simplificar este?
x^4 + 4x^3 + 3x^2 / x^6 + 5x^5 + 7x^4 + 3x^3(1 voto) - como simplifico expressões de frações com mais de uma fração.(1 voto)
- nao sei fazer esta conta de matematica(1 voto)
- oi amigo vc esta bem na sua casinha(1 voto)