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Prova da fórmula da progressão aritmética finita

Transcrição de vídeo

RKA1JV No último vídeo, nós vimos que a soma dos "n" primeiros números inteiros positivos até "n" incluindo o "n" é dada por S(n) igual "n" vezes "n + 1" sobre 2, usamos o método da indução. Vamos provar novamente a mesma fórmula, sem usar o método da indução. A função é S(n) que determina a soma dos "n" inteiros positivos começando em 1, é 1 mais 2, mais 3, mais 4, mais 5, mais 6, até "n - 1" mais "n". Eu vou reescrever essa mesma soma usando outra ordem, alterar a ordem não vai alterar o resultado na soma, então vou começar de trás para frente. "n" mais "n - 1" mais "n - 2", mais, até chegar mais 2, mais 1. Eu vou agora adicionar essas duas igualdades. Veja. Se o que eu tenho aqui é igual ao que está à direita, o que tenho à esquerda, de novo, é igual ao que está à direita, se eu somar as duas aqui, ou seja, "S" mais "S" vai dar 2 vezes S(n). Vai ser igual a somar, naturalmente, o que está à direita das igualdades e eu vou fazer isso termo a termo. Então 2 vezes S(n) vai ser igual a esse com esse, 1 mais "n" dá "1 + n", eu vou escrever "n + 1". Mais, agora, ao somar o 2 com "n - 1", o que é que eu vou ter? Vamos ver. 2 + (n - 1), eu posso tirar os parênteses e o 2 menos 1 fica 1, resulta em "n + 1", então aqui "n + 1". Mais, agora, eu vou somar o 3 com "n - 2". Ora, pela mesma ideia que nós tivemos aqui, 3 mais "n - 2" ou 3 menos 2, dá +1, então vamos ter de novo "n + 1", e assim sucessivamente. Quando nós chegarmos aqui, depois de uma sequência, 2 mais "n + 1" vai dar "n + 1" novamente e, finalmente, o último pedaço, aqui a última parcela, mais "n + 1". Se você percebeu, "n + 1" é uma parcela que se repete e se repete uma quantidade de vezes, indicada exatamente por "n", temos "n" parcelas, veja. De 1 até "n", temos em parcelas, aqui a mesma coisa, aqui a mesma coisa. Ora, então, podemos escrever 2 vezes o S(n), reescrevendo essa expressão, igual a "n" vezes "n + 1", que é quem vai se repetindo aqui. Neste momento, dividindo os dois lados por 2, eu vou chegar a, cancelando aqui. Que era o que eu queria, S(n) igual a exatamente o que eu tinha lá atrás, "n" vezes "n + 1" sobre 2. Acabamos de provar a mesma fórmula sem usar o princípio da indução e foi uma demonstração mais simples, ela é puramente algébrica, você pode perceber. Por enquanto é isso, espero que você tenha aproveitado as duas formas de demonstrar a mesma fórmula. Até o próximo vídeo!