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Exemplo prático: séries aritméticas finitas (notação sigma)

Transcrição de vídeo

RKA - Temos aqui uma série finita expressa por meio da anotação sigma. E, eu sugiro que você pause o vídeo para tentar obter o seu resultado. O resultado dela é um número. Agora que você já deve ter pensado sobre isso, vamos trabalhar juntos nela. Esta é uma soma em que o "k" vai de 1 até 550. Então, sabemos que temos 550 termos aqui e, cada termo é definido por 2k + 50. Com o "k" indo, portanto, de 1 até 550. Vamos começar expandindo um pouco esta soma para tentar sentir como ela se comporta e poder trabalhar melhor. Então ela vai ser igual a, quando "k" vale 1, nós vamos ter 2 × 1 + 50. Quando o "k" é 2, o próximo termo, portanto, vai ser 2 × 2 + 50. Se o cara for 3, vamos ter 2 × 3 + 50. E assim vamos continuando até chegar ao último termo, quando o "k" é 550. E nós vamos ter 2 × 550 + 50. O primeiro termo, então, vai ser 52 +, o próximo termo, vai ser 54, o próximo termo 2 × 3 = 6 + 50 são 56. E assim vamos continuar até o nosso último termo que vai ser 2 × 550 que dá 1100 + 50 = 1150. Esta ideia já nos permite conhecer um pouco melhor a nossa série. Estamos começando em 52, aumentando de 2 em 2, até chegar em 1150. Já que de um termo para o próximo estamos sempre adicionando 2, então podemos reconhecer aqui uma série aritmética. Ou seja, a soma dos termos de uma progressão aritmética. Estamos sempre acrescentando a mesma quantidade de um termo para o seguinte. Para obter essa soma, temos uma fórmula. Mas vamos tentar olhar de uma maneira mais intuitiva para entender de vez como funciona essa tal fórmula. Lembrando que em outros vídeos já temos a demonstração dela. Vamos lembrar que a soma dos "n" primeiros termos de uma progressão aritmética, é o primeiro termo adicionado ao último, dividido por 2, e tudo isso vezes n, que é a quantidade de termos que temos ali. Ou seja, é a média aritmética entre o primeiro e o último termos, multiplicada pelo número de termos. Aplicando aqui nesta nossa série, teremos a soma dos primeiros 550 termos, vai ser o primeiro termo que é 52, mais o último termo que é o 1150. Vamos tomar a média aritmética desses dois valores. Vamos dividir esta soma por 2 e multiplicar esse resultado pelo número de termos, que sabemos que é 550. Vamos efetuar esta conta. Vou começar adicionando 52 e 1150. 52 + 1150 resulta em 1202. 1202 divididos por 2 resultam em 601 que será multiplicado por 550. E efetuando essa multiplicação de 601 por 550, vamos chegar a 330.550. Ou seja, esta soma que temos aqui resulta em 330.550. Bem, mas voltando à história da fórmula, eu tinha comentado que nós vamos tentar dar um pouco de intuição sobre o uso e a justificativa para ela. Nós já sabemos que a soma dos 550 termos que temos ali é 52 + 54 + 56 e assim vai até o 1150. Vou escrever esta soma novamente, mas agora eu vou inverter a ordem das parcelas e nós já sabemos que isso não afeta o resultado. Então, esta soma vai ser 1150 mais o termo seguinte. Vai ser 1150 - 2, ou seja, 1148. O próximo termo vai ser este diminuído de duas unidades novamente, portanto, 1146. E, assim, vamos continuar até o primeiro termo que era o 52. Reescrevemos a mesma soma anterior, porém, na ordem inversa. O que eu vou fazer agora é adicionar estas duas igualdades, o que está ao lado esquerdo de uma é igual ao que está ao lado direito dela. Portanto, se eu adicionar os dois lados esquerdos que temos aqui para ambas as igualdades, vai dar o mesmo resultado que adicionar o que temos do lado direito de cada uma delas também. Do lado esquerdo, vamos ter, portanto, 2 vezes o "s₅₅₀", que representa a soma dos 550 termos. Eu já fiz esta ideia de maneira genérica quando eu provei esta fórmula em vídeos anteriores. Mas agora a ideia é ver, aplicando numa situação em que temos números, como isso tudo funciona. Vamos, então, olhar a adição do lado direito da igualdade, quando eu adicionar estes 2 termos. Ou seja, 52 + 1150 vou obter 1202. E esse número deveria soar familiar para você. Ao adicionar estes outros 2, eu também vou chegar a 1202. Agora quando eu adicionar estes 2 aqui, o 56 + 1156, eu suponho que você já tenha percebido o que deve acontecer, que é o resultado aqui também dar 1202. Assim, prosseguiremos até a soma destes 2 últimos que é 1150 + 52, que evidentemente vai resultar em 1202. Já podemos notar que temos várias parcelas iguais a 1202. E quantas parcelas são essas? Temos exatamente 550 parcelas iguais a 1202. Ou seja, esta soma toda é igual a 550 × 1202. Mas, agora, se queremos o "s₅₅₀", que é a soma dos 550 termos dessa progressão aritmética, precisamos dividir por 2, para isolar aqui a soma. Dividindo os dois lados por 2, dividindo tudo aqui na igualdade por 2, vamos ter exatamente o que fizer os ali acima, 52 + 1150 ÷ 2 × 550. Espero que isso tenha dado alguma ideia mais intuitiva sobre esta fórmula para você. Até o próximo vídeo.