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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 9
Lição 4: Séries aritméticas- Introdução às séries aritméticas
- Fórmula da progressão aritmética
- Séries aritméticas
- Exemplo prático: séries aritméticas finitas (notação sigma)
- Exemplo prático: séries aritméticas finitas (expressão de soma)
- Exemplo prático: séries aritméticas finitas (fórmula recursiva)
- Planilha de série aritmética
- Séries aritméticas
- Prova da fórmula da progressão aritmética finita
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Fórmula da progressão aritmética
A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é (n/2)⋅(a₁+aₙ). Ela é chamada de fórmula da progressão aritmética. Saiba mais sobre o assunto aqui. Versão original criada por Sal Khan.
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- .Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2(1 voto)
- A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é (n/2)⋅(a₁+aₙ). Ela é chamada de fórmula da progressão aritmética.(1 voto)
- A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é (n/2)⋅(a₁+aₙ). Ela é chamada de fórmula da progressão aritmética.(1 voto)
- consegui entender melhor por esse video as aritmeticas(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA1JV - Neste vídeo, vamos ver
uma progressão aritmética e a soma dos termos de
uma progressão aritmética. Uma progressão aritmética é algo do tipo: primeiro termo sendo “a”, o segundo termo vai ser “a”
mais uma razão, o terceiro termo vai ser “a”
mais duas vezes essa razão. O quarto termo vai ser “a”
mais três vezes essa razão, e assim sucessivamente
até o último termo. Nós vemos que esse é
o nosso primeiro termo, “a₁”, esse é o nosso “a₂”, esse é nosso “a₃”,
esse é o nosso “a₄”. E vemos que estamos somando
a quantidade de “r” com índice inferior à posição
do termo na progressão aritmética. Ou seja, quando o primeiro termo é 1,
não somamos “r” nenhum, quando o termo é 2, somamos um “r” apenas, quando o termo é 3, somamos dois “r”. Ou seja, sempre somamos
uma quantidade de “r” menos o número de termos. Portanto, o último termo será
“a” mais (n – 1) vezes “r”. E esse é o termo “aₙ”. Como vamos somar todos os termos? A soma de todos os termos,
vamos chamar de Sn, vai ser "a + a + r + a + 2r + a + 3r... + a + (n – 1) r". Para efeito de nós chegarmos
a uma solução geral, vamos colocar a mesma soma
de forma contrária, ou seja começamos do
último termo para o primeiro. Ou seja, nós vamos fazer
“a + (n – 1) r", mais, no caso, vai ser “a + (n – 2) r", mais, até que chegamos ao
primeiro termo, que é “a”. Podemos ver um padrão aqui,
e que padrão é esse? Se somarmos as duas sequências, vamos ter Sn mais Sn, vamos ter 2Sn. Ao somarmos “a + a (n – 1) r”,
vamos ter “2a + (n – 1) r. Quando somamos o segundo termo,
o que é que nós temos? Nós temos um padrão aqui:
“a” mais “a”, nós vamos ter “2a”. O que significa
“r + (n – 2) r” Ora, “r + (n – 2) r”,
nós podemos abrir parênteses, fica “r + nr – 2r”
e “r - 2r” vai ficar “-r”. Então, nós temos “nr – r”. Colocando “r” em evidência, vamos ter um “n – 1”, ou seja, quando realizarmos essa soma, vamos ter “(n - 1)r”. E esse padrão se repete, pois quando somarmos “2r” com “n – 3”, vamos encontrar também “(n -1) r”. Até o último termo que nós vamos somar o “a + (n - 1) r, vamos ficar com
“2a + (n – 1) r”. Quantas vezes esse termo vai aparecer?
“2a + (n – 1)r ”? No primeiro termo,
ele vai aparecer uma vez, aqui é o segundo termo,
até o enésimo termo, ou seja, nós vamos ter
uma soma de “n” termos. Uma soma de “n” termos é a definição de multiplicação. Se você soma repetidas vezes
um determinado número é a mesma coisa de multiplicar
“n” vezes essa soma. Ou seja, “2a + (n - 1) r”, “n” vezes, é “2a + (n – 1)r + 2a (n - 1)r... até “2a + (n – 1)r , “n” vezes. Portanto, “n” vezes isso aqui. Nós temos, agora, uma fórmula geral. Passando o 2 dividindo, nós temos “n = 2a + (n - 1)r",
tudo sobre 2. Esta é a fórmula geral da soma. Agora, será que nós podemos simplificar? Vamos fazer um artifício para simplificar
e ficar mais fácil de memorizar. Nós temos “n” termos, esse “a”,
vamos abrir como “a + a”, nós temos 2a, mais “n – 1” vezes “r”. Isso tudo dividido por 2. Ora mas quem é esse termo “a”? Esse termo “a”, vamos reescrever aqui. Esse termo “a” é o nosso primeiro termo,
é o nosso “a₁”, e esse termo “a + (n – 1) r” é o nosso aₙ,
é o nosso último termo. Portanto, basta somar o primeiro termo
com o último termo dividido por 2. E tudo isso multiplicado por “n”. Com isso, nós temos uma equação geral para a soma de uma
progressão aritmética.