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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 9
Lição 3: Teorema de Newton- Introdução ao Teorema de Newton
- Triângulo de Pascal e expansão binomial
- Expansão de binômios
- Expansão de binômios
- Expansão de binômios sem o Triângulo de Pascal
- Expansão de binômios e análise combinatória
- Triângulo de Pascal e análise combinatória
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Expansão de binômios sem o Triângulo de Pascal
Neste vídeo, mostramos um "macete" para a expansão de potências grandes de binômios, sem usar o Triângulo de Pascal. Versão original criada por Sal Khan.
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- De onde ele tirou esse método de descobrir os coeficientes com base no grau e termo anterior?(3 votos)
- Lucas, veja que não se trata de um polinômio qualquer, em que você foi colocando aleatoriamente os coeficientes... ele veio de (x-a)^n, em que os coeficientes são dados pela fórmula do binômio de Newton, então dá para fazer isso, com base num coeficiente achar outro... Não foi falado da fórmula? Use ela... Bons estudos! (não vi o vídeo)(3 votos)
- esse macete parece servir apenas para o caso de binômios cujos coeficientes sejam iguais a unidade, como (1x+1y)^n(2 votos)
- Por favor, veja o vídeo anterior, em que ele faz um exemplo de expansão quando o binômio está formato geral: (ax+by)^n(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA - Então, agora, se vocês assistiram a todos os vídeos de expansão binomial até aqui, provavelmente, vocês estão ficando
profissionais nisso já, e eu acho que chegou a hora de apresentar para
vocês uma maneira um pouco mais fácil, uma maneira um pouco mais mental de
resolver uma expansão binomial que não envolve aquelas fórmulas de expansão nem o Triângulo de Pascal. Então, a gente sabe aqui que o expoente é 7 e que essa expansão vai ter oito termos. Por exemplo, se fosse aqui
grau 3, a expansão teria quatro termos e assim vai. Então, já vou marcar aqui os oito termos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Eu posso começar marcando o "x" e o "y" que tem aqui também, então eu já vou botar aqui "x", e já vou botar o expoente dele aqui,
que vai ser 7 (vai ser o máximo), e, a cada termo, a gente sabe que o expoente vai diminuir 1. Então, aqui vai ser "x⁶", "x⁵", "x⁴", "x³", "x²", "x¹", e aqui vai ter "xº", mas eu vou deixar isso como 1 (então nem vou botar
ali). E agora podemos marcar o "y". Aqui vai ser "yº", então vou deixar aqui como 1, não vou marcar; aqui vai ser "y¹", "y²", "y³", "y⁴", "y⁵", "y⁶" e "y⁷". Percebam que a soma dos expoentes sempre (eu fico confundido coeficiente com expoente), mas a soma
dos expoentes sempre vai ser 7; então, "5 + 2" é igual a 7, "4 + 3" é igual a 7", e assim vai. Então, agora vai ser o seguinte, a mágica
disso aqui vai ser o seguinte: a gente já sabe que o coeficiente aqui é 1 (é o que está multiplicando esse "x⁷" e também o que está multiplicando esse "y⁷")... então,
a mágica é o seguinte: para descobrir o coeficiente disso daqui, eu vou pegar o
expoente do "x" do termo anterior, 7, vou multiplicar pelo coeficiente, que vai
ser 1, e vou dividir isso pelo índice do número anterior (que é
esse número que está aqui em cima), que vai ser 1, e isso daqui vai dar resultado
7, vai ser o coeficiente disso daqui. E, agora, já vou até botar "+" aqui em todos
para poupar tempo depois (ou melhor, aqui vai faltar espaço ainda), já vou botar "+"
aqui e, agora, vamos descobrir o coeficiente desse termo daqui. Então, eu
pego o expoente do termo anterior... (eu vou tentar fazer do maior número de cores
possíveis)... então, 6 vezes o coeficiente, que aqui vai ser 7, e isso daqui
dividido pelo índice do número que é 2 (aqui é o 2), e isso daqui vai dar 3 vezes 7, que é 21.
Então... (ou melhor, deixa eu fazer de outra cor, eu fico confundindo as cores aqui)... 21... (quanto
mais cores, melhor para vocês conseguirem distinguir tudo)... então, 21, a gente
descobriu o coeficiente desse termo daqui. E, agora, vamos para o próximo.
Aqui a gente pega o expoente 5, multiplica pelo coeficiente 21 e divide
isso pelo índice do número anterior, que vai ser 3. Eu posso cortar esse 3 com esse 21: aqui vai dar 7, aqui vai dar 1. E 5 vezes 7 é igual a 35 (então, já vou botar 35 aqui). E, agora, a gente pode continuar
calculando para esses outros termos, ou a gente pode se lembrar de que existe
uma certa simetria (eu vou marcar aqui a simetria que eu acho que vai ficar melhor para vocês
enxergarem). Aqui, por exemplo, a simetria desse termo com esse termo; a simetria desse termo com esse termo (então, eu sei que aqui vai
ser 7); a simetria desse termo com esse termo (então, eu sei que aqui vai ser 21), e, aqui, se for continuar assim, vai ser 35. Então, a gente acabou, quase que sem trabalho nenhum (de usar aquela fórmula ou o Triângulo de Pascal), a gente acabou de descobrir qual vai ser
a progressão binomial, a expansão binomial, desse termo daqui.