Introdução ao Teorema de Newton

RKA - Eu acho que os binômios são aquelas coisas da matemática que são simples e podem se tornar complicadas. Então eu vou botar aqui, por exemplo, para vocês verem aonde eu quero chegar, para vocês verem o que estou dizendo, vou por, por exemplo, o binômio "a + b" e vou elevar ele à potência zero. Se vocês já estão familiarizados com o binômio, vocês devem saber que, se aqui dentro for qualquer número diferente de zero, o resultado disso vai ser 1. Aí eu posso pegar e botar esse mesmo binômio elevado a uma potência, por exemplo, 1. E vocês, se também estiverem familiarizados, vão saber que isso aqui vai dar "a + b". Aí agora a partir daqui as coisas começam a ficar um pouco mais interessantes, um pouco mais difíceis para estimular a nossa inteligência. Então vamos lá, "(a + b)²". Se vocês não estão familiarizados com binômios, vocês provavelmente diriam que isso daqui é "a²" mais "b²", o que está errado. Isso daqui é um erro comum. Se você por caso fez esse erro, calma, não é o fim do mundo, muita gente faz esse erro. Eu mesmo cometi esse erro quando estava começando a aprender binômios lá quando estava no ensino fundamental. Então não se preocupem porque isso daqui é um engano muito comum de acontecer, porque a gente pega "(a + b)" e multiplica por "(a + b)" e isso daqui tudo quer dizer isso daqui. É isso daqui que está escondido nesta notação daqui. Então vamos lá, calculando isso daqui vai dar "a² mais "ab", mais "ba" que é a mesma coisa que "ab", mais "b²" e isso daqui vai dar "a² + 2ab +b²" . E até aqui vamos concordar que foi até simples, mas se por acaso eu pegasse e botasse (a + b)³? É, aqui começa a ficar um pouco mais complicado porque vai ter (a + b) que multiplica (a + b) que multiplica outro (a + b). Então, como a gente já calculou um desses "(a + b)" vezes "(a + b)", que é isso daqui, eu vou multiplicar isso daqui que a gente já calculou, vou só reescrever aqui, mais "2ab" mais "b²". Eu vou multiplicar isso daqui por um outro termo (a + b). E o resultado dessa multiplicação eu vou fazer aqui em baixo para ter mais espaço, é só multiplicar um por outro aqui de outro parêntesis, então vamos lá: a² vezes "a" dá a³. a² vezes "b" dá a²b. 2ab vezes "a" dá 2a²b. 2ab vezes "b" dá 2ab². b² vezes "a" é b²a. b² vezes "b" dá b³. E agora só juntando esses termos somando vai ficar a³ mais 3a²b que são esses dois aqui, mais "3ab²" que são esses daqui, só mudou a ordem de "ba" foi para... de b²a foi para ab² e mais b³. Então isso daqui é o resultado desse (a + b)³. Vocês já perceberam que foi bem mais difícil do que o primeiro exemplo, então é por isso que os binômios podem se tornar extremamente complicados e chatos de se fazer quando for expoentes muito altos. Por exemplo, vamos supor que eu pegasse aqui, eu poderia continuar aqui essa série, e vamos supor que eu pegasse lá para o final (a + b) elevado à 20ª potência. Isso aqui seria "(a + b)" vezes "(a + b)" vezes "(a + b)", 20 vezes e seria algo aqui muito complicado e muito longo de resolver. Então é por isso que, deixa eu pegar mais espaço aqui, vou rolar tudo pra baixo. Então é por isso que os matemáticos sentiram a necessidade de se criar um teorema, vou escrever aqui teorema do binômio. Teorema do binômio, ou Binômio de Newton e os dois nomes estão corretos, até vejo mais gente usar o Binômio de Newton do que o Teorema do binômio. Mas o que isso quer dizer é que, se eu pegar um binômio (a + b), vou tentar fazer o maior número de cores aqui que eu conseguir, mas essas cores são meio limitadas, mas acho que vai ficar direito. (a + b) elevado a uma potência "n". Isso daqui vai ser igual ao somatório (Σ), eu já explico o que esse símbolo aqui significa, de "k = 0" até "n" da análise combinatória de "n, k" a "k" que multiplica "a" elevado a "k - n", ou melhor, "n - k", aqui eu já cometi um erro, aqui é "n - k". Essa fórmula é realmente grande, fácil para cometer erros então cuidem com isso, que multiplica "b" elevado a "k". Então, se vocês ainda não sabem o que é isso daqui, essa parte daqui, isso se chama análise combinatória e isso daqui é a mesma coisa, é a representação matemática para isso daqui que vou colocar aqui. É "n" fatorial (n!) sobre o "k" fatorial (k!) (n - k) fatorial. Se vocês não sabem o que é fatorial depois eu já vou fazer um exemplo, vocês já vão ver o que é fatorial também, é bem simples a ideia não é nada muito complicado não. Então vamos começar. Vocês devem ter percebido: "tá, mas eu prefiro calcular na mão. Prefiro multiplicar (a + b) vezes (a + b) vezes (a + b), bem mais fácil do que lembrar dessa fórmula aqui". E eu já vou mostrar que não é, que essa fórmula aqui é bem mais fácil, é bem mais simples e é muito válido você se lembrar dela e tentar de alguma maneira aprender. Não digo decorar, mas aprender a usar isso daqui. Então eu vou pegar, por exemplo, um polinômio aqui vou pegar... "a", ou melhor vou fazer essa cor certa aqui. Como eu falei minhas cores são meio limitadas. (a + b), isso daqui elevado a "n", ou melhor, desculpa, a "n" não, a 4. Quando a gente começar a calcular isso aqui, a gente vai ter a somatória de "k = 0" até 4, de "4, k" a "k", vocês já vão ver o que vai acontecer com esse valor "k" aqui, que multiplica "a" elevado a "4 - k", que multiplica, calma que já está acabando a fórmula, "b" elevado à potência "k". Então, vamos pegar esse "k" e nós vamos variá-lo de, vou só mostrar aqui do lado. Nós vamos pegar esse valor "k", nós vamos variá-lo de zero até 1, até 2, até no caso "n". E o nosso "n" vai ser 4, então a gente vai pegar o 0, 1, 2, 3 e o 4 para terminar. Então, vamos começar a montar isso daqui, vamos destrinchar essa fórmula daqui. E o nosso primeiro "k" vai ser "k 0". Eu vou fazer a partir daqui de uma cor só, espero que não confunda vocês mas eu vou fazer todos, vou botar outra cor no que for importante lembrar, mas então vamos lá. Análise combinatória de 4, 0 a 0, multiplicado por "a" elevado a "4 - 0", no caso é 4, vezes "b" elevado a zero, eu acho que devia ter feito mais próximo aqui, porque vai faltar espaço depois, mas vamos continuar assim mesmo. Isso aqui mais, análise combinatória agora de 4, 1 a 1 multiplicado por "a" elevado a (4 - 1), que vai dar 3, vezes "b" a 1, mais análise combinatória de 4, 2 a 2, vezes a² vezes b², mais 4, 3 a 3 que multiplica "a" elevado a 1, vezes b³. Isso daqui mais 4 a 4, análise combinatória, que multiplica "a" elevado a zero vezes, deixa eu fazer esse zero direito, vezes "b" elevado a 4. Então, agora só falta, a gente já conseguiu os termos "a" e "b", todos os graus aqui, então agora, para a gente, só falta calcular separadamente o que quer dizer isso daqui, o que quer dizer esse 4, 1 a 1. Deixa eu só apagar isso aqui o que eu acabei de fazer e vamos calcular aqui separadamente, eu vou botar um pouquinho mais para baixo, eu vou reescrever a fórmula, ou melhor, um pouquinho mais para cima agora, acho que eu movi errado. Vou reescrever a fórmula aqui da análise combinatória, que vai ser "n, k" a "k". Vai ser igual a "n" fatorial, "k" fatorial, (n - k) fatorial. E vamos começar a calcular. 4, 0 a 0, isso daqui vai ser igual a 4 fatorial dividido por zero fatorial, (4 - 0) fatorial E isso daqui, 4 fatorial é "4 · 3 · 2 · 1". Para o fim desse vídeo, como isso aqui está sendo dividido aqui por esse zero e por esse 4 fatorial, o resultado disso aqui vai ser 1. E agora vamos pegar 4, 1 a 1, isso daqui vai ser igual a 4 fatorial dividido por 1 fatorial, 3 fatorial porque é 4 - 1, e 4 fatorial é 4 · 3 ·2 · 1, então esse fatorial é e 3 · 2 · 1. Ou seja, isso daqui vai ser igual a 4. Agora vamos pegar 4, 2 a 2, isso daqui vai ser igual a 4 fatorial dividido por 2 fatorial, e isso daqui vai ser 4, aqui embaixo, então a gente já pode cortar esse 4 com o 4 que vai ficar aqui em cima, do "4 · 3 · 2 · 1", vai sobrar aqui em cima só "3 · 2", então o resultado aqui vai ser 6. Agora vamos pegar 4, 3 a 3, vocês já devem estar percebendo, vocês já devem estar craques em fatorial agora em análise combinatória, então 4 fatorial dividido por 3 fatorial, 1 fatorial, ou melhor deixa eu fazer direito aqui. 1 fatorial e isso daqui vai ser igual a 4 vezes... Como o 3 fatorial eu vou cortar com esses três que têm ali em cima, então vai ficar aqui só 4 e 4 a 4, 4 fatorial, aqui vai ser 4 fatorial dividido por 4 fatorial, 0 fatorial porque como esse primeiro caso também vai ser 1. Então agora só vou trocar isso daqui que eu achei por isso daqui que a gente estava tentando achar que em cima, trocar lá em cima, então isso aqui vai ficar, deixa eu pegar mais espaço aqui. Eu já peguei até espaço demais ali embaixo. Vai ficar 1 vezes "a" na quarta, vezes "b" na 0 que vai ser 1, ou seja, vou até apagar isso daqui para não confundir de vocês. Então, "a" na quarta mais, temos aqui o resultado, 4 vezes"a" na terceira, vezes "b" na primeira, mais, vai ter o resultado disso daqui é 6. 6 vezes a² vezes b², mais o resultado disso aqui, 4 vezes "a" na 1, vezes b³, mais 1 vezes "a" na zero que vai ser 1, vezes "b" na quarta. E é esse daqui o nosso binômio, a nossa fórmula já desenvolvida do binômio que a gente estava procurando. Então é muito interessante vocês olharem esse binômio de Newton e tentarem entender como ele foi usado, como ele pode ser usado porque com certeza isso daqui vai dar uma ajuda muito grande para vocês em qualquer prova que vocês forem fazer. Eu espero ter ajudado e até o próximo vídeo.