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Progressões geométricas com notação sigma

Uma série geométrica é a soma dos termos de uma progressão geométrica. Saiba mais sobre séries geométricas e sobre como elas podem ser escritas em termos gerais e com a notação sigma. Versão original criada por Sal Khan.

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  • Avatar leaf green style do usuário Luciana Ramos
    o numero 0,123456 pode ser expresso por qual razão.
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  • Avatar blobby green style do usuário Luiz Henrique Alves
    Como sei se a série è convergente ou divergente?
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    • Avatar starky ultimate style do usuário Carlos
      Não necessariamente vai pro infinito, a série pode também oscilar. A série é dita divergente quando a soma infinita dos termos da sequência não assume um valor finito, real.
      (1 voto)
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Transcrição de vídeo

RKA2G Em vídeo anterior, nós estudamos a ideia da progressão geométrica. Progressão geométrica é aquela sequência em que, dado o primeiro termo, o próximo termo é obtido multiplicando-se o anterior sempre pelo mesmo número . Por exemplo: aqui, 3 é o primeiro termo. Multiplicando sempre por 2, nós obtemos o próximo termo: 6. 6 vezes 2 = 12 e assim por diante. Qualquer número diferente de zero pode ser este número que, multiplicando um termo, faz com que obtenhamos o próximo. E esse número é chamado de razão da progressão geométrica. Esse número pode ser negativo. Por exemplo, se eu começar em 1 e for usar a razão 3 negativo, 1 vezes -3 dá -3, que vezes -3 dá +9, que vezes -3 resulta em -27, que vezes -3 resulta em 81 e assim sucessivamente. O foco deste vídeo é a soma dos termos de uma progressão geométrica, de uma sequência geométrica, chamada de série geométrica. Série geométrica é a soma dos termos de uma progressão geométrica. Por exemplo, nesta progressão aqui acima, nós teríamos a série geométrica associada a ela como 1 + (-3) + 9 + (-27) + 81 e assim por diante, isto seria uma série geométrica infinita. A mesma coisa para o outro exemplo: a geométrica associada àquela progressão é 3 + 6 + 12 + 24 + 48 e assim por diante. A questão é: como podemos escrever uma série geométrica de maneira geral? Vamos retomar aqui. De maneira geral, indicamos por "a" o primeiro termo de uma progressão geométrica que vai sendo multiplicado sempre pelo mesmo número, chamado razão. Aqui, então, nós teríamos, de modo geral para a progressão geométrica, o primeiro termo, que é "a", somado ao segundo termo, que é "a" multiplicado pela razão (vamos indicar pela letra "q"), mais o terceiro termo, que é "a" multiplicado por q², porque é o termo anterior multiplicado pela razão: "a" vezes "q" vezes "q" de novo para obter o próximo termo. E assim sucessivamente: mais "a" multiplicado por q³ (o termo anterior multiplicado por "q") e assim prosseguimos, ainda chegando até "a" multiplicado por "q" elevado a "n", a um certo expoente, que revela quantos termos temos nesta soma. Está escrita a soma dos termos de uma certa progressão geométrica e aqui nós vamos usar a notação de somatório, aquela notação usando a letra grega Σ, para representar esta soma. Primeiro, nós precisamos perceber como, de maneira geral, os termos se comportam. Aqui você vê que "a" se mantém em todos os termos, "q" aparece e o expoente do "q" é 1 aqui, 2 aqui, 3 aqui, etc., até "n" lá e, na verdade, aqui eu tenho "q" elevado a zero. De modo que, para escrever a somatória, vamos lá, colocando a letra grega Σ, nós temos a somatória com um certo "k", que vai indicar o que está sendo modificado, que é justamente o expoente da razão, iniciando em zero e indo até "n". "k" vale zero no primeiro termo, 1 no próximo, 2, depois 3, depois 4, 5 e assim por diante até um certo valor "n". "k" vai de zero até "n". E cada termo é escrito como: "a", que você tem em todos, multiplicado por "q" elevado a um expoente que é justamente a letra "k", indicado pela letra "k". Vamos melhorar um pouquinho aqui a escrita. Assim está melhor. Esta é uma notação usada para, de maneira geral, representar a soma de alguns termos de uma série geométrica. Repare que, como começamos com zero no expoente e fomos até "n", de um em um, então, aqui nós teríamos n + 1 termos. Por este momento está feito o trabalho. Espero que você tenha aproveitado bastante. Até o próximo vídeo!