Problema de séries geométricas finitas: redes sociais

RKA2G Um problema para resolver: uma nova rede social gaba-se pelo fato de sua base de usuários crescer 47% ao mês no ano passado. O número de usuários em 1º de janeiro do ano passado era de 50 mil. Qual é a expressão que dá o número total de novos usuários (em milhares) que foram adicionados no mês "n" do ano passado, com "n" entre 1 e 12? Vamos organizar essas informações colocando aqui o mês, a quantidade de usuários no início daquele mês, a quantidade de usuários que foram adicionados naquele mês e a quantidade de usuários ao final daquele mês. No mês 1, que era janeiro, no início, havia 50 mil usuários. Como nós estamos falando em milhares, vamos colocar simplesmente 50. Naquele mês, o número de usuários adicionados foi de 47% de 50 mil. Para o cálculo de 47% de 50 mil, basta fazer 50 (estamos falando em milhares) multiplicado por 0,47. Aqui, um rápido lembrete: Como calcular 47% de 50 de maneira mais rápida? Lembrar que o 47%, dividindo 47 por 100, é equivalente ao número 0,47. O "de" em matemática, neste caso, indica a operação da multiplicação. Então, 0,47 vezes 50. Para saber o total ao fim do mês, eu tenho que adicionar esse valor aos 50 mil iniciais, ou seja, no final do mês de janeiro, teremos os 50 mil, que eram os iniciais, mais os 47% de 50 (0,47 vezes 50). 1 vez 50 + 0,47 vezes 50 é que nem 1x + 0,47x. O que eu faço? 1 + 0,47, multiplicando o 50. Vou ter 1,47 vezes 50, que significa 50 adicionado a 47% dele mesmo. Multiplicar por 1,47 é adicionar direto 47% ao valor já existente. Ao final do mês de janeiro, ao final do mês 1, teríamos 50 vezes 1,47. 50 mil vezes 1,47 é o número de usuários no final do mês 1. No mês 2, o início do mês 2 é exatamente a quantidade que tínhamos no fim do mês 1, que é 50 vezes 1,47. A quantidade de usuários adicionados no mês 2 vai ser 47% do que tínhamos no início do mês 2. Então, os 50 vezes 1,47, vezes 0,47. Ou seja, 47% daquilo que havia no início do mês. E, no final, nós vamos ter os 50 vezes 1,47, que era o que tínhamos no começo do mês, multiplicado de novo por 1,47. 1,47 vezes 1,47 é 1,47². Mais simples escrever assim. Vamos agora ao mês 3. Para começar o mês 3, a quantidade era o que existia ao final do mês 2. Simplesmente copiando e colando o final do mês 2 no início do mês 3, já tem a quantidade inicial do mês 3. A quantidade de usuários adicionados é 47% do que eu tinha no começo do mês. É só pegar aquela informação e multiplicar por 0,47. O início do mês está multiplicado por 1. Nós vamos usar essa informação um pouquinho mais para a frente. A quantidade de usuários no final do mês 3 vai ser a quantidade que eu tinha no início do mês 3, multiplicado por 1,47 novamente. Só que 1,47² vezes 1,47 novamente é só escrever 1,47³. O que podemos observar aqui é que existe um certo padrão. Veja lá: eu vou escrever 1,47⁰ no primeiro mês, 1,47¹ no segundo mês e, no terceiro mês, 1,47 aparece elevado ao quadrado. Com isso, dá para perceber que, em um mês qualquer, o 1,47 do início do mês está elevado a uma potência, ou melhor dizendo, a um expoente, que é uma unidade menor que o número que indica o mês. Mês 3, expoente 2, mês 2, expoente 1, mês "n", expoente "n - 1". A quantidade de usuários adicionados é 47% do que havia no começo do mês, então, é só copiar o que havia no começo do mês e multiplicar por 0,47. Para saber o total de usuários no fim deste mês "n", eu preciso pegar a quantidade de usuários no começo do mês e multiplicar por 1,47, o que significa adicionar 1 no expoente. Portanto, este -1 vai ser cancelado e a gente pode observar um padrão: mês 3, expoente 3, mês 2, expoente 2 para a quantidade de usuários ao final do mês. Voltando ao problema, nós queremos o número total de usuários adicionados no mês "n", ou seja, desde o começo do ano até o final do mês "n", quantos usuários foram adicionados? Posso fazer isso de duas formas. Uma das formas é tomar o total de usuários no final de tudo, do mês "n", e subtrair o que tinha no início do ano. O que sobrar vai ser o total de usuários que foi adicionado. É só copiar esta expressão, 50 vezes 1,47ⁿ, do final do mês "n", e subtrair quanto eu tinha no início do ano. No início do ano eu tinha 50 (na verdade, 50 mil). Vamos procurar ali e ver se encontramos uma expressão equivalente a esta. Olhando para as expressões, talvez a que mais se aproxime é a primeira, mas falta ali o -50. Não tem, então, não pode ser. Talvez alguma outra, mas não é tão simples de observar. Entretanto, podemos observar um padrão na coluna da quantidade de usuários adicionados ao longo dos meses. Nós queremos saber o total de usuários adicionados do início do ano até o final do mês "n". Temos dois fatores comuns para todas as parcelas, que são o 50 e o 0,47. Vamos fatorar tudo que está lá. Colocando 0,47 vezes 50 em evidência, porque são os fatores comuns, 0,47 vezes 50, abre parênteses, vamos adicionar o que vem de cada uma das parcelas. Na primeira parcela, nós temos simplesmente 1. Olha lá, temos um "vezes 1", então, temos 1. Mais, na segunda parcela, já temos o 50 e o 0,47. O que nós vamos colocar nos parênteses é o 1,47. Mais, na terceira parcela, 1,47². Na quarta parcela, 1,47³. Assim vai até a parcela do mês "n", que vai ser 1,47ⁿ⁻¹. E assim eu consigo compor a expressão que determina total de usuários adicionados até o fim do mês "n" desde o começo do ano. Vai ser a segunda expressão, que eu estou sinalizando aqui. Com isso, finalizamos a resolução deste problema. Até o próximo!