Introdução às séries geométricas

RKA22JL - E aí, pessoal? Tudo bem? Nesta aula, nós vamos começar a estudar as séries geométricas. E, para isso, eu vou colocar uma tabela aqui que relaciona o ano (vamos dizer, assim, o ano inicial), ou o ano relacionado ao início, e o dinheiro na conta. Vamos dizer que o banco está disposto a nos dar 5% ao ano. 5% é um valor muito bom. É muito difícil um banco lhe dar isso, mas é só para você entender o contexto. Isso significa que, se você colocar, inicialmente, 100 reais no banco, ao final de um ano, você vai ter 105 reais. Se colocar 1.000, ao final de um ano, você vai ter 1050, e por aí vai. Vamos dizer que você queira colocar, a cada ano, 1.000 reais em sua conta. No primeiro ano, você coloca 1.000, no segundo, também coloca 1.000, no terceiro, 1.000, e assim por diante, até chegar em um ano qualquer. No primeiro ano, você coloca 1.000, correto? O que eu estou querendo dizer é que, no primeiro ano, você deposita 1.000 reais e o que acontece com o segundo ano? Nós vamos colocar de novo 1.000 reais, mas o valor original não vai valer mais 1.000. Isso porque ele teve um aumento de 5% e isso significa dizer que nós o multiplicamos por 1,05. Ou seja, além dos 1.000 reais que depositamos, nós também vamos ter 1.000 vezes 1,05, que se refere ao valor anterior. E quanto você vai ter depositado no terceiro ano? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isso sozinho. Vamos lá, então. De novo, você depositou 1.000 reais, mas o valor do 2º ano sofreu um reajuste de 5%. Isso é a mesma coisa que multiplicá-lo por 1,05, e esse valor original sofre um novo reajuste de 5%. Ou seja, os 1.000 reais originais serão multiplicados por 1,05 uma vez e, depois, multiplicados de novo por 1,05. Basicamente, nós multiplicamos por 1,05 e, depois, de novo, por 1,05. E 1,05 vezes 1,05 é a mesma coisa que 1,05 ao quadrado. Você já consegue observar um padrão acontecendo aqui? Descobri-lo é importante para generalizarmos isso. Ou seja, para descobrir o valor depositado para qualquer ano. Note que você sempre vai ter 1.000, que é o valor que está depositando naquele ano, mais uma quantidade de parcelas de 1.000 vezes 1,05. E você vai somando isso até a quantidade de vezes que o valor original sofreu reajuste. Ou seja, aqueles 1.000 reais originais sofreram vários ajustes de 5%. Isso significa que o 1.000 foi multiplicado por 1,05 elevado a alguma potência. Mas que potência é essa? Note que no ano um o 1,05 não aparece. No ano dois, nós pegamos o 1.000 e multiplicamos por 1,05 elevado a 1. No ano três, nós pegamos o 1.000 e multiplicamos pelo 1,05 elevado a 2. O que eu estou querendo dizer é que se aqui é 2, o 1,05 foi levado a 1. Se o n é igual a 3, o 1,05 foi elevado a 2. Por causa disso, em n anos, o 1,05 vai ser elevado a n menos 1. Isso que estamos fazendo nada mais é do que uma série geométrica. Então, nós vamos começar a estudar as séries geométricas, e só uma revisão: séries geralmente são chamadas de sequências, e, de fato, você pode ver uma série como uma sequência de somas. E só para você relembrar rapidinho o que é uma sequência. Uma sequência nada mais é do que uma lista ordenada, e uma série geométrica é a série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma progressão geométrica. Por exemplo, podemos criar uma série aqui, onde o 2 é o primeiro termo, e cada termo seguinte, nós multiplicamos por 3. Ou seja, 2 vezes 3 dá 6. 6 vezes 3 dá 18. E 18 vezes 3 dá 54. Essa é uma sequência geométrica. Uma listagem ordenada. Já em séries geométricas, nós vamos somar todos esses termos aqui. Ou seja, 2 mais 6, mais 18, mais 54. E, claro, nós podemos reescrever isso aqui para ficar mais parecido com o que vimos no nosso exemplo. Podemos reescrever como 2 mais (2 vezes 3), mais (2 vezes 3 ao quadrado), mais (2 vezes 3 ao cubo). E em toda a série geométrica, cada termo é igual ao termo anterior multiplicado por uma constante, um valor fixo. Nesse caso, a constante é 3. Então, a diferença entre sequência e série é que, na sequência, nós só colocamos os termos em ordem. Na série, nós somamos esses termos. E eu espero que essa aula tenha ajudado vocês, e até a próxima, pessoal!