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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 9
Lição 1: Séries geométricas- Introdução às séries geométricas
- Introdução às séries geométricas
- Fórmula das séries geométricas finitas
- Exemplos práticos: séries geométricas finitas
- Fórmula da série geométrica
- Problemas de série geométrica: balanço
- Problemas de série geométrica: caminhada
- Problemas de séries geométricas finitas
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Introdução às séries geométricas
Aprenda como o dinheiro rende em uma conta bancária com séries geométricas! Descubra como cada depósito cresce segundo uma porcentagem fixa a cada ano, criando um padrão. Esse padrão forma uma série geométrica, um conceito útil em finanças e negócios. Continue depositando e veja seu dinheiro se multiplicar!
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - E aí, pessoal?
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos começar a estudar
as séries geométricas. E, para isso, eu vou
colocar uma tabela aqui que relaciona o ano
(vamos dizer, assim, o ano inicial), ou o ano relacionado ao início,
e o dinheiro na conta. Vamos dizer que o banco está
disposto a nos dar 5% ao ano. 5% é um
valor muito bom. É muito difícil um banco lhe dar isso,
mas é só para você entender o contexto. Isso significa que, se você colocar,
inicialmente, 100 reais no banco, ao final de um ano,
você vai ter 105 reais. Se colocar 1.000, ao final de um ano,
você vai ter 1050, e por aí vai. Vamos dizer que você queira colocar,
a cada ano, 1.000 reais em sua conta. No primeiro ano, você coloca 1.000, no segundo,
também coloca 1.000, no terceiro, 1.000, e assim por diante,
até chegar em um ano qualquer. No primeiro ano,
você coloca 1.000, correto? O que eu estou querendo dizer é que,
no primeiro ano, você deposita 1.000 reais e o que acontece
com o segundo ano? Nós vamos colocar de novo 1.000 reais,
mas o valor original não vai valer mais 1.000. Isso porque ele teve
um aumento de 5% e isso significa dizer que
nós o multiplicamos por 1,05. Ou seja, além dos 1.000 reais que depositamos,
nós também vamos ter 1.000 vezes 1,05, que se refere
ao valor anterior. E quanto você vai ter
depositado no terceiro ano? Eu sugiro que você pause o vídeo
e tente resolver isso sozinho. Vamos lá, então. De novo, você depositou 1.000 reais,
mas o valor do 2º ano sofreu um reajuste de 5%. Isso é a mesma coisa que multiplicá-lo por 1,05,
e esse valor original sofre um novo reajuste de 5%. Ou seja, os 1.000 reais originais serão multiplicados
por 1,05 uma vez e, depois, multiplicados de novo por 1,05. Basicamente, nós multiplicamos por 1,05
e, depois, de novo, por 1,05. E 1,05 vezes 1,05 é a mesma
coisa que 1,05 ao quadrado. Você já consegue observar um
padrão acontecendo aqui? Descobri-lo é importante
para generalizarmos isso. Ou seja, para descobrir o valor
depositado para qualquer ano. Note que você sempre vai ter 1.000,
que é o valor que está depositando naquele ano, mais uma quantidade de
parcelas de 1.000 vezes 1,05. E você vai somando isso até a quantidade de vezes
que o valor original sofreu reajuste. Ou seja, aqueles 1.000 reais originais
sofreram vários ajustes de 5%. Isso significa que o 1.000 foi multiplicado
por 1,05 elevado a alguma potência. Mas que potência é essa? Note que
no ano um o 1,05 não aparece. No ano dois, nós pegamos o 1.000
e multiplicamos por 1,05 elevado a 1. No ano três, nós pegamos o 1.000
e multiplicamos pelo 1,05 elevado a 2. O que eu estou querendo dizer
é que se aqui é 2, o 1,05 foi levado a 1. Se o n é igual a 3,
o 1,05 foi elevado a 2. Por causa disso, em n anos,
o 1,05 vai ser elevado a n menos 1. Isso que estamos fazendo
nada mais é do que uma série geométrica. Então, nós vamos começar
a estudar as séries geométricas, e só uma revisão: séries geralmente
são chamadas de sequências, e, de fato, você pode ver uma série
como uma sequência de somas. E só para você relembrar
rapidinho o que é uma sequência. Uma sequência nada mais é
do que uma lista ordenada, e uma série geométrica
é a série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos
de uma progressão geométrica. Por exemplo, podemos criar uma série aqui,
onde o 2 é o primeiro termo, e cada termo seguinte,
nós multiplicamos por 3. Ou seja, 2 vezes 3 dá 6.
6 vezes 3 dá 18. E 18 vezes 3 dá 54. Essa é uma sequência geométrica.
Uma listagem ordenada. Já em séries geométricas, nós vamos somar
todos esses termos aqui. Ou seja, 2 mais 6,
mais 18, mais 54. E, claro, nós podemos reescrever isso aqui
para ficar mais parecido com o que vimos no nosso exemplo. Podemos reescrever como
2 mais (2 vezes 3), mais (2 vezes 3 ao quadrado),
mais (2 vezes 3 ao cubo). E em toda a série geométrica,
cada termo é igual ao termo anterior multiplicado por uma
constante, um valor fixo. Nesse caso,
a constante é 3. Então, a diferença entre
sequência e série é que, na sequência, nós só
colocamos os termos em ordem. Na série, nós somamos
esses termos. E eu espero que essa aula tenha ajudado
vocês, e até a próxima, pessoal!