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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 9
Lição 1: Séries geométricas- Introdução às séries geométricas
- Introdução às séries geométricas
- Fórmula das séries geométricas finitas
- Exemplos práticos: séries geométricas finitas
- Fórmula da série geométrica
- Problemas de série geométrica: balanço
- Problemas de série geométrica: caminhada
- Problemas de séries geométricas finitas
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Problemas de série geométrica: caminhada
Uma série geométrica finita pode nos ajudar a planejar uma caminhada? Sara embarca para uma caminhada de quatro dias, aumentando sua distância percorrida em 20% a cada dia. Para descobrir a distância do primeiro dia, usamos a fórmula da série geométrica finita. Esta ferramenta matemática nos ajuda a resolver o problema da caminhada de Sara.
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - Olá, tudo bem? Você vai assistir agora
a mais uma aula de matemática e, nesta aula, vamos resolver um exemplo
sobre série geométrica. Esse exemplo diz o seguinte: “Sara realizou
uma caminhada de 4 dias. A cada dia, ela caminhava 20% a mais do que a distância
que ela caminhou no dia anterior. Ela caminhou
27 quilômetros no total (27 km). Qual é a distância que Sara
andou no primeiro dia da viagem? Arredonde a resposta final
para o quilômetro mais próximo. Como sempre, pause o vídeo
e tente encontrar a resposta. Ok. Tentou?
Vamos fazer juntos agora? Inicialmente, vamos chamar o valor
que ela caminhou no primeiro dia de "a" , e, com isso, vamos montar uma expressão
para determinar o quanto ela caminhou no total. Lembrando que, no total,
ela caminhou 27 quilômetros. Com essa expressão,
vamos ver se conseguimos resolver. Então, no primeiro dia,
ela andou “a” quilômetros. E no segundo dia? Foi dito que, a cada dia, ela caminhou
20% a mais do que ela caminhou no dia anterior, então, no dia seguinte, ela vai andar 20% a mais
do que ela caminhou no dia anterior, que foi “a” quilômetros. Então, teremos aqui 1,2 vezes "a" . E quanto ao
dia depois disso? Ou seja, no terceiro dia? Isso vai ser 1,2 vezes o que
foi caminhado no segundo dia. Sendo assim, teremos aqui 1,2 vezes 1,2 ou, de forma mais
simples, podemos dizer 1,2 ao quadrado vezes "a". E quanto no quarto dia? Como vimos, ela realizou
uma caminhada de 4 dias, então esse é o último dia. Isso vai ser 1,2 vezes o que
foi caminhado no terceiro dia. Então isso vai ser 1,2 elevado
à terceira potência vezes "a" . Ótimo. Essa é uma expressão para determinar
o quanto ela caminhou nos quatro dias, e sabemos que ela caminhou um
total de 27 quilômetros. Então isso vai ser igual
a 27 quilômetros. Agora você pode resolver
isso e encontrar o “a” aqui. Para isso, você pode fatorar o "a", e, com isso,
ter "a" vezes 1, mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado, mais 1,2 à terceira potência,
e tudo isso sendo igual a 27. Dessa forma, teremos aqui
que a é igual a 27 sobre 1, mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado,
mais 1,2 à terceira potência. Sem dúvida, precisaríamos de uma
calculadora para fazer o cálculo, mas fazendo assim chegaríamos
à resposta tranquilamente. O caso é que eu vou usar aqui uma técnica diferente,
que vai funcionar mesmo quando tivermos 20 termos aqui. Não seria muito difícil fazer o cálculo dessa forma que fiz
com 20 termos, mas imagine se tivéssemos aqui 200 termos. Isso ficaria incrivelmente
mais difícil, não é? Com a outra forma, vai ficar bem mais simples.
Mas que maneira diferente é essa? Podemos resolver esse problema através da fórmula
de uma série geométrica finita e o que isso faz? Basicamente, isso realiza a soma dos primeiros n termos,
e, para fazer isso, teremos a seguinte expressão. "a", que vai ser o primeiro termo, menos “a” vezes
a nossa proporção comum, que chamamos de r, mas em nosso caso é 1,2, já que cada termo sucessivo
é igual a 1,2 vezes o termo anterior. Sendo assim, podemos colocar aqui o r
elevado à enésima potência. Tudo isso sobre 1 menos
a proporção comum, r. Em outros vídeos,
explicamos de onde vem isso, mas, aqui, estamos apenas utilizando isso
para resolver um problema de aplicação. Já sabemos o que é o nosso "a", e usei isso aqui
como a nossa variável. Nossa proporção comum nessa situação vai ser igual a 1,2
e o nosso n vai ser igual a 4. Outra forma que eu gosto de pensar sobre isso
é que temos aqui o nosso primeiro termo, que nós vemos aqui,
e aí isso menos o último termo. Se tivéssemos um quinto termo aqui, o utilizaríamos.
Tudo isso sobre 1, menos a proporção comum. Com isso, esse lado esquerdo da nossa equação
pode ser reescrito da seguinte forma: "a" menos "a" vezes 1,2,
elevado à quarta potência e tudo isso sobre um menos a nossa proporção comum,
que é 1,2. E isso é igual a 27. Repare que podemos
simplificar isso aqui um pouco. Aqui no denominador, teremos -0,2 e, no numerador,
podemos fatorar o "a". Isso vai ser igual a “a” vezes 1, menos 1,2
elevado à quarta potência. Podemos multiplicar o numerador
e o denominador por -1. Eu vou colocar aqui o "a" fora da fração.
Temos aqui o "a" vezes... Eu vou trocar as posições
para nos livrarmos do negativo. Então teremos aqui 1,2 elevado à quarta potência
menos 1 sobre 0,2. Tudo isso é igual a 27. Novamente, tudo que eu fiz aqui foi colocar
o “a” multiplicando a fração. Então eu multipliquei o
numerador e o denominador por -1. O numerador multiplicado por -1 faz com que os sinais
desses termos no numerador sejam trocados, por isso troquei-os de posição,
para ficar melhor. E, claro, multiplicando o -0,2
por -1, obtemos 0,2 positivo. Agora, eu posso simplesmente multiplicar
os dois lados da equação pelo inverso disso aqui. Eu vou fazer aqui. Assim, teremos 0,2 sobre 1,2
elevado à quarta potência menos 1. E do outro lado, a mesma coisa. Multiplicamos isso por 0,2 sobre
1,2 à quarta potência menos 1. Isso aqui cancela com isso,
e isso, cancela com isso. Foi exatamente por isso
que eu fiz isso aqui. Ficamos com "a" sendo
igual a 27 vezes 0,2 sobre 1,2 elevado
à quarta potência menos 1. Essa expressão vai nos fornecer exatamente o mesmo valor
que a expressão que acabamos de ver, só que, utilizando essa expressão, teremos maior facilidade,
pois poderemos fazer isso com muito mais termos. Enfim, vou pegar a
calculadora para resolver. Vou calcular esse
denominador primeiro. Terei 1,2 elevado à quarta potência,
aí, esse resultado aqui menos 1. É isso que temos no denominador. Agora, podemos pegar o inverso disso aqui
e multiplicar por 27. Ao encontrar esse resultado,
multiplicamos por 0,2. Pronto, chegamos a
aproximadamente 5,0298. 5,0298 quilômetros. Porém, a questão está pedindo que a resposta
seja arredondada para o quilômetro mais próximo. Então isso vai ser aproximadamente
igual a 5 quilômetros. Essa foi a distância percorrida pela Sara
no primeiro dia de caminhada. Eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que vimos aqui e, mais uma vez, eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!