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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 9
Lição 1: Séries geométricas- Introdução às séries geométricas
- Introdução às séries geométricas
- Fórmula das séries geométricas finitas
- Exemplos práticos: séries geométricas finitas
- Fórmula da série geométrica
- Problemas de série geométrica: balanço
- Problemas de série geométrica: caminhada
- Problemas de séries geométricas finitas
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Problemas de série geométrica: balanço
A distância que um macaco percorre ao balançar em uma árvore pode ser modelada por uma série geométrica! Aprendemos que o comprimento de cada movimento de balanço é a metade do anterior, formando uma série geométrica finita. Ao aplicar a fórmula da soma, calculamos a distância total que o macaco percorre.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, pessoal!
Tudo bem? Temos alguns exercícios para resolver. Um macaquinho está se balançando
em algumas árvores. No primeiro balanço, ele atravessa
um arco de 24 metros. Em cada balanço, ele atravessa
um arco que tem 1/2 de comprimento do balanço anterior. Para começar, vamos fazer um desenho
representativo dessa situação. Temos um cipó e o nosso
macaquinho está nele. No primeiro balanço,
ele atravessou 24 metros. E de acordo com as
informações que temos, nos balanços seguintes,
ele atravessou metade do anterior. Então, no segundo balanço
seriam 12 metros, depois 6 e assim vai. Para quem já se balançou e árvores, isso é bem consistente com nossas
experiências em balanços de árvore. Mas vamos lá para a nossa
primeira pergunta. Qual expressão nos dá o
comprimento total dos balanços do macaquinho nos
primeiros "n" balanços?" Seria legal você pausar o vídeo para tentar resolver sozinho primeiro. Veja se você consegue expressar isso
por duas formas diferentes. Primeiro, como uma série geométrica, depois como a soma
da série geométrica, caso de fato ela fosse calculada. Agora, vamos juntos. Temos noção que no primeiro balanço
o macaquinho vai 24 metros , e nos seguintes, a metade do anterior. Eu dei uma dica bem legal
para você antes ao pedir que fizesse como
uma série geométrica. Poderíamos colocar o 12 aqui embaixo, mas uma coisa interessante aqui, é que para uma série geométrica, a nossa razão comum sempre vai ser o 1/2, e isso vai para cada balanço seguinte,
então, em vez de 12, vamos colocar 24 vezes 1/2, e para o seguinte,
que seria a metade da metade, seria 24 vezes (1/2)². Dessa forma, temos agora
nossos três primeiros balanços "n", e isso significa que vamos ter
24 vezes (1/2)ⁿ⁻¹. Isso se explica da forma que, depois de 2 balanços,
conseguimos 24 vezes (1/2)². Mas se lembramos bem do enunciado, não queremos somente esta expressão, queremos saber também
como calcular isso. E para responder, vamos usar a fórmula para
séries geométricas finitas, que nos diz que a soma dos
primeiros termos "n" é "a". Aqui é o nosso primeiro termo, menos "a" vezes a razão comum. A razão comum que neste caso é
(1/2) elevado à potência "n/1" menos a nossa razão comum. E um jeito legal para pegar isso
mais facilmente de cabeça é pensar que usamos
o nosso primeiro termo menos o primeiro termo
que não incluímos. E você já deve ter algo do tipo
mas com outras formas, por exemplo, podemos fatorar "a", e veríamos a(1 - rⁿ)
sobre (1 - r). Porém, de qualquer forma, a fórmula que responde a nossa pergunta
no enunciado é 24 vezes 1 menos 1/2 elevado a "n"
sobre 1 menos 1/2. E esta expressão por si só
está correta, mas podemos simplificá-la um pouco. 1 menos 1/2 é igual a 1/2. 24 sobre 1/2 = 48. Podemos deixar por fim 48 vezes 1 menos 1/2 elevado a "n". E este foi o nosso primeiro exercício. Agora, para o segundo. Qual é a distância total que
o macaquinho percorreu ao completar seu 25º balanço? Arredonde sua resposta para
o metro mais próximo. Para esta questão, podemos usar a expressão que
fizemos lá em cima, e substituímos o "n" por 25. E isso vai nos deixar com
um número bem pequeno. Para nos ajudar aqui,
vamos usar a calculadora. 0,5, que é o resultado
de nossa fração, elevado à potência 25, e eis aqui o nosso número
super pequeno. Agora, subtraímos ele de 1
e multiplicamos agora por 48. Se arredondamos para
o metro mais próximo, voltamos para o 48. E é isso pessoal, eu espero que tenham aprendido e até a próxima!