Demonstração da identidade do seno da soma de ângulos

RKA - O que eu espero com este vídeo é demonstrar a fórmula da soma dos ângulos para o seno. Em particular, eu quero demonstrar que o seno de “x + y”... então, o seno de “x + y”... isso é igual ao seno de “x” que multiplica o cosseno de “y”, mais o cosseno de “x” que multiplica o seno de “y”. E a maneira como eu vou fazer isso é através deste diagrama aqui embaixo. Como você pode perceber, eu tenho um triângulo retângulo aqui (que é este que eu estou fazendo em vermelho). Ele tem a hipotenusa igual a 1. Este aqui é o meu triângulo retângulo em vermelho. E, como dá para perceber, este triângulo ADC, que tem hipotenusa 1, está construído sobre a hipotenusa de um outro triângulo retângulo. Repara só que é este retângulo aqui: ABC. Sim ou não? Portanto, eu vou fazer este outro triângulo retângulo aqui embaixo de azul só para combinar com aquela cor do “y”... E, como a gente percebe, como eu falei anteriormente, a hipotenusa deste triângulo retângulo aqui, do triângulo ABC... essa hipotenusa aqui... ela é a base deste outro triângulo retângulo, do triângulo retângulo vermelho, do ACD (ou ADC, né?). Então, eu vou ter algo parecido com isto aqui, né? Daí a pergunta que eu quero responder é a seguinte: quanto vai ser o seno de “x + y”? Destes dois ângulos aqui somados. Pois bem, “x + y” vai ser este ângulo aqui. E, para eu calcular o seno deste ângulo aqui, eu vou usar este outro triângulo retângulo aqui, que tem este lado aqui oposto ao ângulo “x + y”. E, como nós sabemos, o seno de um ângulo é o cateto oposto ao ângulo, dividido pela hipotenusa. Mas, como a nossa hipotenusa aqui vale 1, então, o seno deste ângulo aqui (do ângulo “x + y”) vai ser simplesmente a medida deste lado aqui, do cateto oposto ao ângulo. Portanto, o seno de “x + y” vai ser igual ao comprimento do segmento DF. Este segmento aqui, sim ou não? E, aí, você pode pensar: ora, o que eu quero saber realmente é o segmento DF. Mas eu posso decompor este segmento aqui neste segmento DE (sim ou não? Aqui, DE) e também neste segmento EF. Está certo? Então, eu posso dizer que o comprimento de DF vai ser igual ao comprimento do DE mais o comprimento do EF. Sim ou não? Mais isto aqui. Mas, como a gente pode reparar na figura, EF tem o mesmo comprimento de CB aqui. Sim ou não? Esta figura aqui, ECBF, é um retângulo, portanto, EF é igual a CB. Portanto, tudo isto aqui vai ser igual ao segmento DE (a este segmento aqui, DE) mais a medida deste outro segmento CB. Está certo? Pois bem, só revisando o que nós fizemos: eu descobri que o seno de “x + y” vai ser igual, simplesmente, ao comprimento de DF; e que DF eu posso decompor como sendo DE + CB. Sim ou não? E, agora, dando esta dica aqui para vocês, eu te encorajo a determinar qual é a medida do segmento DE em termos de “x” e de “y”, e também de senos e de cossenos; e também a medida do comprimento CB em termos de “x” e de “y” e de senos e cossenos também. Então, tenta pensar um pouquinho sobre isso, que isso aqui, provavelmente, vai ser deduzido de alguma forma. Então, assumindo que você tentou fazer, como eu sei que o seno de “x + y” pode ser expresso como isto daqui, vamos tentar determinar qual é a medida disto aqui através do quê? Através da descoberta dos valores de alguns ângulos e de algumas medidas nesta figura aqui, o máximo que nós pudermos. Então, primeiro, vamos encarar este triângulo retângulo vermelho aqui. A hipotenusa dele é 1, e eu quero descobrir quanto mede DC neste momento. Como a gente percebe, DC é o cateto oposto ao ângulo “x”, e, portanto, o seno de “x” é o cateto oposto (DC) sobre 1, que é o próprio DC, na verdade. DC dividido por 1 é DC. Portanto, este lado DC aqui é o seno de “x”. E o segmento AC vai seguir a mesma lógica: o AC é um cateto adjacente ao ângulo “x”, e, portanto, AC sobre 1 (o cateto adjacente sobre a hipotenusa) vai ser o cosseno de “x”, certo? Todo este lado aqui vai ser igual ao cosseno de “x”. Agora, vamos ver o que a gente consegue descobrir a respeito do triângulo ACB. Ora, este lado CB aqui é o cateto oposto ao ângulo “y”; e como nós sabemos, o seno de “y” vai ser igual a este lado, que é CB, sobre a hipotenusa. E quanto vale a hipotenusa deste triângulo retângulo? Vale cosseno de “x”. E eu, agora, já acho que você pode estar tendo uma certa intuição do que vai acontecer aqui. É ou não é? Em qualquer ponto do vídeo, se você se sentir confiante de resolver isto sozinho, pause o vídeo e tente fazer, beleza? Daí, se eu multiplicar ambos os lados por cosseno de “x”, eu vou ter que o segmento CB vai ser igual a quê? Vai ser igual ao seno de “y” que multiplica o cosseno de “x”. Olha aí! Sim ou não? E eu posso escrever isso também como cosseno de “x”, vezes o seno de “y”, para ficar parecido com o que nós temos aqui em cima, certo? E isto aqui é legal porque nós acabamos de mostrar que isto aqui é igual a isto aqui. E a primeira parte da nossa prova está pronta. Agora, só falta descobrir quanto vale DE. Sim ou não? Falta apenas mostrar que isto aqui é igual a isto aqui, certo? Pois vamos tentar fazer; vamos tentar descobrir uma expressão aqui para este lado DE. Como a gente vai fazer isso? Ora, eu poderia tentar descobrir o valor deste ângulo aqui, ou deste ângulo aqui. Na verdade, eu vou tentar descobrir este ângulo. Daí, eu tenho o seguinte, olha só: eu sei que este ângulo aqui é um ângulo de 90 graus, portanto, EC vai ser paralelo a AB. Sim ou não? Portanto, AC vai ser uma transversal a estas paralelas. Portanto, se este ângulo aqui é um ângulo “y”, este ângulo daqui também vai ser um ângulo “y”. Eles são ângulos alternos internos, por isso têm a mesma medida. Sim ou não? E, se este ângulo aqui é “y”, este outro ângulo aqui vai ser o quê? Vai ser 90 graus menos o “y”. É ou não é? Deixe-me só botar o “y” aqui de azul; então, vai ser 90 graus menos “y”. E, se este ângulo aqui é um ângulo de 90 graus, e este ângulo aqui é um ângulo de 90 graus menos “y”, qual vai ser este ângulo? Ora, eu sei que este mais este vai dar “180 - y”. E, como eu sei que a soma dos três tem que dar 180 graus, então, este ângulo aqui só pode ser igual a “y”. É ou não é? Faça as contas aí: "y + (90 - y) + 90", isso tem que dar igual a 180; e, aí, vai dar, se aqui for “y”. Isso aqui vai ser bem útil para a gente, porque agora eu posso expressar o DE em função do “y” e do seno de “x”. Ora, como DE é um cateto adjacente ao ângulo “y”, nós podemos usar aqui a fórmula do cosseno. Daí, nós podemos dizer o seguinte: que o cosseno deste ângulo “y” vai ser igual ao comprimento deste lado DE aqui sobre a hipotenusa. Quanto é a hipotenusa? É o seno de “x”. Então, sobre seno de “x”... Opa! Perdão... sobre seno de “x” aqui. Deste jeito, certo? E, agora, vem o nosso "gran finale", e você vai ficar extasiado porque nós acabamos de mostrar que, se nós multiplicarmos ambos os lados por seno de “x”, que DE vai ser igual a quanto? Ora, vai ser igual a seno de “x” que multiplica o cosseno de “y”. É ou não é? Olhe aí! Então, nós acabamos de mostrar que isto aqui, que é a mesma coisa que isto aqui, é igual a isto aqui. E também nós mostramos que CB vai ser igual a cosseno de “x” [vezes] seno de “y”. Logo, mostramos toda esta fórmula. Ou seja, nós ficamos por aqui, pois nós acabamos de demonstrar esta fórmula da soma dos ângulos para o seno. Beleza? Então, até o próximo vídeo!