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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 2
Lição 9: Identidades trigonométricas de soma de ângulos- Identidades trigonométricas de soma de ângulos
- Uso da identidade do cosseno da soma de ângulos
- Uso da identidade do cosseno do arco duplo
- Uso das identidades trigonométricas de soma de ângulos
- Demonstração da identidade do seno da soma de ângulos
- Demonstração da identidade do cosseno da soma de ângulos
- Demonstração das identidades da tangente da soma e da diferença de ângulos
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Demonstração das identidades da tangente da soma e da diferença de ângulos
Usando o seno e o cosseno da soma ou da diferença de dois ângulos, podemos demonstrar que:
tg(x+y)=(tg(x)+tg(y))/(1+tg(x)tg(y)). Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA12MC - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos descobrir
qual é a tangente de “x + y”. E, para isso, vamos utilizar
coisas que já conhecemos, como, por exemplo,
o seno de “x + y”, que é igual ao seno de “x”
vezes o cosseno de “y” mais o cosseno de “x”
vezes o seno de “y”, e também o cosseno de “x + y”, que é o cosseno de “x”
vezes o cosseno de “y” menos o seno de “x”
vezes o seno de “y”. E isso é algo que já
provamos em outros vídeos. Além disso, também sabemos que o
cosseno de “-x” é igual ao cosseno de “x”, e que o seno de “-x” é
igual a menos o seno de “x”, e que a tangente de algo
é igual ao seno desse algo dividido pelo cosseno desse algo. Com isso em mente, será que conseguimos
determinada tangente de “x + y” em termos da tangente
de “x” e da tangente de “y”? Ou seja, não colocar apenas
o seno dividido pelo cosseno. E a primeira coisa que temos
que fazer é utilizar essa identidade. E, aí, vamos ficar com
a tangente de “x + y” igual ao seno de “x + y”
dividido pelo cosseno de “x + y”. E isso vai ser igual a quê? Como sabemos, o seno pode ser
expresso desse jeito, correto? Então, onde estiver o seno de “x + y”,
eu vou colocar como o seno de “x” vezes o cosseno de “y”
mais o cosseno de “x” vezes o seno de “y”, e dividimos isso pelo cosseno de “x + y”,
que é mesma coisa que isso aqui. Então, dividimos pelo cosseno de “x”
que multiplica o cosseno de “y” menos o seno de “x” que
multiplica o seno de “y”. E o que queremos é expressar isso
aqui como tangentes de “x” e “y”. E, para isso, podemos pensar em
fazer alguma manipulação algébrica. E, como sabemos, a tangente
é seno sobre cosseno, correto? Então, será que conseguimos
achar algo no qual vamos dividir tanto o numerador
quanto o denominador, de modo que vamos
ter alguma expressão que possa começar a
parecer com uma tangente? Bem, o que eu vou fazer
aqui é dividir o numerador pelo cosseno de “x”
vezes o cosseno de “y”. E, claro, eu não posso fazer
isso somente no numerador, eu tenho que dividir o denominador
por esse mesmo número também para que a fração seja mantida. Então, dividimos isso aqui pelo
cosseno de “x” vezes o cosseno de “y”, e ainda podemos separar o
numerador em duas frações, ficando com o seno de “x”
que multiplica o cosseno de “y” dividido pelo cosseno de “x”
vezes o cosseno de “y”, e somamos isso com o cosseno de “x”
vezes o seno de “y” dividido pelo cosseno de “x”
vezes o cosseno de “y”. E podemos fazer isso porque, quando realizamos uma adição
de fração com os denominadores iguais, nós repetimos o denominador
e somamos o numerador. Na verdade, eu só desfiz a soma. E eu posso fazer a mesma
coisa aqui embaixo. Eu vou colocar o cosseno de “x”
vezes o cosseno de “y” , o sinal de menos aqui, e o seno
de “x” vezes o seno de “y” aqui. E, aí, essa primeira parte vai ficar dividida
pelo cosseno de “x” vezes o cosseno de “y”, e essa aqui também, ou seja, dividida pelo
cosseno de “x” vezes o cosseno de “y”. Tá, mas por que eu fiz isso? Simples, porque agora
podemos simplificar essa divisão. Note que aqui tem um cosseno de “y”
e aqui também tem um cosseno de “y”, ou seja, podemos
cancelar esses dois termos. E, aí, vamos ficar
somente com essa parte. Mas o seno de algo dividido pelo cosseno
de algo não é a mesma coisa que a tangente? Então, podemos reescrever
aqui como a tangente de “x”. Aqui também podemos cancelar esse
cosseno de “x” com esse cosseno de “x”, e vamos ficar somente com o seno
de “y” dividido pelo cosseno de “y”, que é a mesma coisa
que a tangente de “y”. E dividimos isso pelo quê? Aqui temos um cosseno de “x” que podemos cancelar com esse
cosseno de “x” que está dividindo, e aqui cancelamos esse cosseno de “y”
com esse aqui, já que está dividindo, ou seja, essa primeira parte vai dar 1. E subtraímos por essa divisão. E preste muita atenção! Aqui temos um seno de “x” dividido
por um cosseno de “x”, correto? E isso multiplica um seno de “y”
dividido por um cosseno de “y”. Isso não seria a mesma coisa que a
tangente de “x” vezes a tangente de “y”? Sim, essa parte aqui
vai ser a tangente de “x”, e essa outra, a tangente de “y”. Então, tangente de “x”
vezes a tangente de “y”. E, finalmente, conseguimos criar uma
expressão para a tangente de “x + y”, de modo que ela dependa apenas da
tangente de “x” e da tangente de “y”. Ok, já descobrimos isso aqui, mas será que conseguimos achar uma
expressão para a tangente de “x - y”? Aqui, só precisamos adaptar
o que já vimos aqui, isso porque a tangente
de “-x” vai ser igual ao seno de “-x” dividido
pelo cosseno de “-x”. E isso vai ser igual a quê? Vai ser igual a menos o
seno de “x” que já vimos aqui (então, menos seno de “x”), e dividimos isso pelo
cosseno de “-x” que já vimos aqui, que é igual ao cosseno de “x”. E isso vai ser igual a
menos a tangente de “x”. E isso é interessante porque
podemos reescrever isso aqui como a tangente de “x + (-y)”, e,
olhando para essa expressão, onde tivermos um “y”,
vamos substituir por um “-y”. Ou seja, isso aqui vai ser igual à
tangente de “x” mais a tangente de “-y” dividido por 1 menos a tangente
de “x” vezes a tangente de “-y”. E, como sabemos, a tangente de “-y”
é igual a menos a tangente de “y”. E podemos fazer a mesma coisa aqui. A tangente de “-y” vai ser igual
a menos a tangente de “y”. Mas, como eu já tem esse menos
aqui e temos uma multiplicação, podemos mudar o sinal dele. E reescrevendo isso, vamos
ter que a tangente de “x – y” vai ser igual à tangente de “x”
menos a tangente de “y” dividido por 1 mais a tangente
de “x” vezes a tangente de “y”. E eu espero que esta
aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!