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Domínio e contradomínio da função inversa da tangente

Transcrição de vídeo

RKA - Dado que a g(x) é igual a "tg(x - 3π/2) + 6", encontre a inversa da g(x). Ele quer que a gente escreva a inversa nesse espaço em branco aqui. Além disso, ele também pergunta: qual é o domínio da inversa da g(x)? E, bom, para fazer isso, eu vou usar aqui o editor de imagem para a gente pensar um pouquinho sobre o problema (está aqui o problema). A g(x), então, é a "tg(x - 3π/2) + 6", e ele quer a inversa dessa g(x). Para fazer isso, eu posso simplesmente trocar: onde aparece o "x", eu coloco a inversa da g(x), e, onde aparece a g(x) aqui, eu coloco o "x". Portanto, eu posso escrever assim: "x = tg(g⁻¹(x) - 3π/2) + 6". Eu apenas, como você pode reparar, inverti. No lugar da g(x), eu coloquei o "x", e, no lugar do "x", eu coloquei a inversa da g(x). E, agora, basta eu isolar a inversa da g(x) que eu vou ter a solução, eu vou ter a função inversa dessa função aqui, beleza? Na verdade, o que eu encorajo você a fazer agora é pausar o vídeo e tentar resolver você próprio. Será que você consegue? Pois bem, presumindo que você tentou, vamos subtrair 6 dos dois lados da igualdade. E, aí, eu vou me livrar desse 6 aqui. Então, vamos lá. "x - 6" vai ser igual a "tg(g⁻¹(x) - 3π/2)". Agora, vamos calcular a inversa da tangente nos dois lados da equação. E, aí, aqui do lado esquerdo da igualdade, eu vou ter a "tg⁻¹(x - 6)", e, do lado direito, se eu calcular a inversa da tangente da tangente de alguma coisa, se o domínio estiver restrito da maneira apropriada, eu vou ter que a inversa da tangente vai simplificar com a tangente, e eu vou ter apenas isso aqui. Está certo? Então, a inversa da tangente da tangente de alguma coisa, digamos θ (teta), isso vai ser igual ao próprio θ; relembrando aqui, se esse domínio estiver restrito da maneira apropriada (o valor do θ, ele tem que assumir os valores corretos para que eu possa fazer isso). Então, presumindo que eu estou fazendo isso aqui, que eu restringi o domínio, a inversa da tangente dessa tangente aqui vai ser apenas isso aqui; portanto, a "g⁻¹(x) - 3π/2". E, agora, para que eu tenha apenas a inversa da g(x) de um lado da igualdade, eu posso somar 3π/2 dos dois lados que eu vou ter que a inversa da g(x) vai estar isolada. E, aí, eu posso simplesmente inverter o lado esquerdo com o lado direito, para ter o seguinte: para ter que "g⁻¹(x) = tg⁻¹(x - 6) + 3π/2". Lembra que eu falei que a gente somou, dos dois lados, 3π/2? Então, é isso que a gente vai ter aqui. Então, deixe-me escrever isso aqui lá no exercício para a gente não esquecer. Só relembrando o que que deu aqui: a "g⁻¹(x)" vai ser a "tg⁻¹(x - 6) + 3π/2". Vamos lá. Escrevendo... aqui eu posso colocar, então, a "tg⁻¹(x - 6) + 3π/2". Está lá, certinho do jeito que eu encontrei, da maneira que eu resolvi, certo? Então, foi exatamente isso que nós encontramos; agora, vamos pensar sobre o domínio da inversa da g(x). E aí? Será que a gente consegue determinar esse domínio? Vamos voltar aqui para o editor de imagem. Olhe só. Vamos pensar sobre o que a tangente faz. Se a gente imaginar aqui o círculo unitário. Vou desenhá-lo aqui para vocês. Vou fazer aqui o eixo do "y". Beleza! Agora, o eixo do "x". Está aqui, esse é o nosso círculo unitário. E, aqui, se eu formar um determinado ângulo θ (digamos, esse ângulo aqui; vou chamar de θ), a tangente de θ, ela vai ser simplesmente a inclinação desse raio terminal aqui, que forma o ângulo θ. Lembrando que, para formar o ângulo, eu tenho dois raios: esse ângulo aqui que fica sobre o eixo do "x" e esse outro raio aqui que eu estou chamando de raio terminal. E a tangente desse ângulo θ vai ser exatamente a inclinação desse raio terminal aqui que forma o ângulo θ. Beleza? Só vou escrever aqui: a tangente do θ vai ser a inclinação desse raio. E você pode achar a inclinação de vários ângulos θ diferentes. Olhe só: eu posso achar desse aqui, posso achar desse aqui, posso achar desse aqui... um montão de ângulos diferentes. Assim como posso também achar desse aqui, desse aqui... Agora, eu não posso encontrar a inclinação se esse raio estiver totalmente vertical aqui sobre o eixo do "y" para cima e para baixo. É ou não é? Não dá para encontrar essa inclinação. E, então, eu posso dizer aqui que o domínio da tangente... esse domínio vai ser todos os números reais. Então, todos os reais, exceto o ângulo π/2 mais os múltiplos de π. É ou não é? π vezes "k", com esse "k" aqui sendo um número inteiro. Por que não pode ser π/2 mais os múltiplos de π? Porque π/2 vai dar aqui, esse raio bem vertical, então, não dá para calcular essa inclinação. E, se eu somar aqui os múltiplos de π, eu vou terminar aqui nesse raio que está para baixo e vou retornar para esse que está para cima; então, não podem ser esses números aqui. E, do mesmo jeito que eu não posso somar os múltiplos de π, eu também não posso subtrair, porque, se eu subtrair, eu vou sair daqui e vou chegar aqui também. No caso da subtração, eu vou no sentido horário desse círculo unitário; e, na soma, eu vou no sentido anti-horário. E a imagem? Vamos pensar, agora, na imagem da tangente. O domínio, como a gente viu, eles são todos os reais menos o π/2 mais os múltiplos de π. Já a imagem, repare só: eu posso ter qualquer inclinação aqui para essa tangente. Então, eu posso dizer que a imagem também são todos os números reais; e, nesse caso, sem exceção alguma. Eu posso aumentar o ângulo θ se eu quiser aqui uma inclinação bem grande, ou posso diminuir bastante o θ para ter uma inclinação bem pequena, negativa aqui. E, como eu estou falando aqui da inversa da tangente, ou seja, a tg⁻¹, que é o inverso da tangente, para que essa função inversa da tangente, ela seja inversível, repare só, eu tenho que todos os elementos da imagem da tangente têm apenas um único correspondente no domínio da tangente... é o caminho inverso. E perceba só: essa inclinação aqui, ela teria exatamente o mesmo valor dessa inclinação aqui, para esse outro lado, que seria a inclinação desse ângulo aqui. E é por isso que eu preciso restringir o domínio da função. Por isso que, para tornar essa função tangente inversível, eu preciso restringir o domínio para quais valores? Para -π/2 até o π/2. E não pode ser nem o -π/2 nem o π/2, por isso que está no intervalo aberto aqui. E, dessa forma, eu posso construir, então, uma função inversa dessa tangente. E, aí, para a função inversa da tangente, eu posso colocar qualquer número real lá. É ou não é? E como nós temos aqui o inverso da função, nós sabemos que o domínio dessa função inversa vai ser todos os números reais; e a imagem da função inversa da tangente, essa, sim, vai ser restrita. Para quais valores? Ora, para esses mesmos valores aqui: -π/2 até o π/2. Então, vamos voltar para a nossa pergunta: qual é o domínio da inversa da g(x)? Retornando aqui para a gente analisar. Eu poderia colocar qualquer número real aqui no lugar do "x". É ou não é? Portanto, aqui, pode entrar qualquer número real. E isso aqui, depois que eu colocar o número real aqui, vai estar entre -π/2 e π/2; mas ele não fala nada sobre a imagem, ele quer apenas o domínio. Na verdade, uma questão mais interessante seria calcular exatamente a imagem dessa função. Mas, como ele quer apenas o domínio, vamos responder. Já que eu poderia colocar qualquer número real no lugar do "x", vamos responder: o domínio da inversa da "g(x)" vai ser: menos infinito até o infinito. Vamos verificar? Perfeitamente correto! Mas, apenas por diversão, vamos calcular a imagem dessa inversa da g(x). Eu fiquei um tanto curioso para descobrir qual vai ser a imagem dessa função. Eu sei que, para esse valor aqui, quando eu colocar qualquer número real, o valor que vai me retornar vai estar entre o -π/2 e o π/2. É ou não é? Lembrando que isso vai servir apenas para essa parte aqui. E o que que eu estou fazendo depois? Estou somando 3π/2 a esses valores. E, aí, a imagem para essa função aqui vai ser o quê? Vamos lá. Se eu adicionar 3π/2 a esse valor inferior aqui, isso vai me retornar 2π/2. É ou não é? "3π - π", vai dar 2π... sobre 2. E 2π/2 é quanto? Ora, é simplesmente π. E também vou adicionar 3π/2 nesse limite superior aqui, que é π/2. Isso vai dar 4π/2, que é a mesma coisa que 2π. Olhe aí! E, portanto, o domínio dessa função aqui, a inversa da g(x), vai ser do π até o 2π, um intervalo aberto. Lembrando: não pode ser um intervalo fechado, tá? Esse intervalo aqui é aberto. Ele não inclui esses limites aqui, nem o π, nem o 2π. Mas, para o domínio, você pode colocar qualquer valor aqui que a função vai estar definida. Tranquilo? Então, até o próximo vídeo!