Introdução ao arco seno

RKA - Imagine que eu estou andando na rua. De repente, vejo você, te paro e te pergunto assim: Vem cá, você sabe quanto é o seno de π sobre 4? É claro, nós estamos lidando com radianos, você poderia ter isso decorado ou, então, você poderia desenhar, digamos, o círculo unitário. Beleza? Aqui está o círculo unitário e, aí, você iria 45 graus aqui no sentido positivo, uma vez que π/4 radianos é a mesma coisa que 45 graus. Daí, você desenha aqui esse raio do círculo unitário e o seno é definido como sendo a coordenada do "y" desse círculo unitário aqui. Então, o que você precisa saber é esse valor aqui. Você me diz: "Ok, esse ângulo tem 45 graus. Deixe eu desenhar um triângulo retângulo um pouquinho maior aqui. Esse ângulo aqui, então, é 45, esse aqui também vai ser 45° e, aqui, 90° e aí você pode resolver. Este triângulo retângulo 45, 45, 90. A hipotenusa aqui mede 1. Posso dizer que esse lado aqui mede "x", eu ainda não sei a medida dele. Este aqui também mede "x" e eles vão ter, claro, a mesma medida, uma vez que este triângulo é um triângulo isósceles. Repare que os ângulos dessa base são iguais. Você pode me dizer que x² + x² = 1². Então, 2x² = 1, x² = 1/2. Então, x = 1/√2, e eu posso multiplicar aqui em cima e embaixo pela √2. E o valor final deste "x" vai ser √2 sobre 2. Portanto, essa altura aqui, esse lado, vai ser √2 sobre 2, assim como essa distância aqui também vai ser √2 sobre 2. Mas o que nos interessa é essa altura, porque o valor do seno de π/4 vai ser essa medida aqui, que é a coordenada no eixo "y". E a gente acabou de calcular que isso vai ser igual a √2/2. Agora imagine que estamos em outro dia e eu chego para você e pergunto assim: Vem cá, o arco seno de √2/2, quanto vai ser? Você me responde: Ora, eu sei quanto é o seno, agora arco seno, isso é uma coisa nova para mim, é uma nova função trigonométrica. Eu não sei quanto vai dar isso! Tudo o que você tem que fazer quando você tem essa palavra "arc" aqui na frente, normalmente, isso é a mesma coisa que a função inversa, é o inverso do seno. E isso poderia ser escrito de outra forma, desse jeito aqui, seno a -1 de √2/2. É o inverso do seno de √2/2. A pergunta que é feita aqui é a seguinte: qual é o ângulo que, quando eu calculo o seno desse ângulo, o resultado dá √2/2? Qual vai ser esse ângulo? Da mesma forma, essa pergunta do arco seno aqui em cima, é a mesma coisa. Qual é o ângulo que, quando eu calculo o seu seno, dá √2/2? E aqui eu poderia reescrever cada uma dessas afirmações desse jeito: o seno de quê é igual a √2/2? E essa, na minha opinião, é uma questão mais fácil para você responder, pois eu acabei de determinar que o seno de π/4 é igual a √2/2. Então, nesse caso eu sei que o seno de π/4 = √2/2. Então, esse símbolo de interrogação que eu estou querendo calcular vai ser igual a π/4. Eu poderia reescrever tudo isso como o arco seno de √2/2 = π/4. Então, novamente revisando o que eu falei aqui. O que eu quero saber é qual é o ângulo que, quando eu calculo o seno desse ângulo, me dá √2/2 como resultado. Você pode me dizer: ok, 45 graus funcionou! Mas eu poderia continuar adicionando 360° e, sempre que eu fizesse isso, iria funcionar, porque sempre que eu fizer 360°, vai retornar para esse mesmo ponto aqui no círculo. Concorda? Então, todos esses valores seriam respostas corretas para isso, não é? Porque sempre que eu adicionar 360° a esses ângulos, vou retornar para o mesmo ponto e vai sempre dar √2/2 o resultado do seno. E isso para mim é um problema, eu não posso ter uma função, digamos f(x), que tenha múltiplos valores. Concorda? Essa função me daria π/4, depois π/4 + 2π, que seria uma volta completa. Depois, π/4 + 4π, de maneira que essa função do inverso do seno seja válida, eu vou precisar restringir a imagem dessa função. Mas antes disso eu vou te fazer uma pergunta: qual seria o domínio dessa função aqui? Vamos lá! Vamos tentar calcular o domínio dessa função. Se eu estou calculando aqui o arco seno de alguma coisa que estou chamando de "x" e isso vai dar igual a um ângulo Θ (teta), qual vai ser a restrição para o domínio dessa função? Quais seriam os valores válidos para x? O x poderia ser igual a quanto? Pois bem, se eu calcular o seno de um ângulo, eu posso apenas ter valores entre 1 e -1, não é isso? Então, o x vai ser maior ou igual a -1 e menor ou igual a 1, esse vai ser o domínio da função. E agora, para que essa função seja válida, eu preciso restringir a imagem da função e, para essa função arco seno, convencionou-se restringir a imagem para o primeiro e o quarto quadrante, esta área aqui. Então, o ângulo Θ está restrito a ser menor ou igual a o π/2 e maior ou igual a -π/2. Dado isso, vamos fazer um problema. Deixe eu limpar essa área. Digamos que eu te pergunte agora: Quanto é o arco seno de -√3/2? Eu posso ter isso memorizado e falar: ora, eu sei que o seno de x ou seno de Θ vai ser igual a √3/2 e pronto! Mas eu não tenho isso memorizado. Então, vou desenhar aqui o meu círculo unitário, eu preciso desenhar apenas o primeiro e o quarto quadrante desse círculo unitário. Esse aqui é o eixo do y e esse aqui vai ser o eixo do x. Então, onde eu tenho que marcar neste círculo? Ora, se eu tenho que o seno de um ângulo é igual -√3/2, isso que dizer que a coordenada do y é -√3/2, eles estão em algum lugar por aqui, assim. E aqui seria -√3/2, é aqui que nós estamos. E qual é o ângulo que me dá isso aí? Vamos pensar um pouquinho. Esse aqui vai ser o ângulo, que vai ser um ângulo negativo, porque nós estamos indo para baixo do eixo do x, no sentido horário. Agora vou desenhar um triângulo aqui, isso seria meu triângulo. E agora vou dar um zoom nesse triângulo e fazer o que seria o ângulo Θ. Qual seria a medida desse lado aqui? Seria a mesma medida do eixo y, que vai ser a mesma coisa que √3/2. Na verdade, é menos, porque a gente está aqui para baixo. Mas vamos apenas descobrir qual é esse ângulo. Nós sabemos que é um ângulo negativo. Eu espero que você perceba que quando você vir que um dos catetos é √3/2, você saiba que é um triângulo 30, 60 e 90. Este lado é √3/2, este daqui vai ser 1/2 e este daqui, é claro, vai ser 1, já que é um círculo unitário e aqui é a hipotenusa desse triângulo, que também é o raio, que é 1. Então, neste triângulo 30, 60, 90, este ângulo que está oposto a √3/2 é igual a 60°. E este ângulo aqui é de 30°. Como a gente tem um ângulo negativo aqui, o nosso Θ é igual a -60°. E para transformar este ângulo em radiano, basta que eu multiplique por π radianos para cada 180°. Aqui os graus se cancelam e eu vou ter, então, que o Θ = -π/3 radianos. E agora eu posso afirmar que o arco seno de -√3/2 = -π/3 radianos ou, de maneira equivalente, eu poderia dizer que o inverso do seno de -√3/2 também é igual a -π/3 radianos. Para confirmar isso, eu posso usar minha calculadora que já está configurada para radiano. Eu posso verificar no "second mode", está em radiano. O que eu quero calcular é o inverso do seno. Portanto, sen-1, de quanto? De -√3/2. Isso vai ser igual a -1,047... etc. Então, está me dizendo que isso vai ser igual a -1,04 radianos, aproximadamente. Ou seja, - π3 seria -1,04. Vamos ver se eu posso confirmar isso. Se eu escrever aqui -π dividido por 3, quanto isso vai dar? Olha lá, exatamente a mesma resposta. Mas apesar de ser a mesma resposta, a calculadora não fala que isso é -π/3. Vejo você no próximo vídeo!