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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 2
Lição 3: Funções trigonométricas inversas- Introdução ao arco seno
- Introdução ao arco tangente
- Introdução ao arco cosseno
- Calcule as funções trigonométricas inversas
- Como restringir os domínios de funções para torná-las inversíveis
- Domínio e contradomínio da função inversa da tangente
- Uso de funções trigonométricas inversas com a calculadora
- Revisão sobre funções trigonométricas inversas
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Introdução ao arco seno
Neste vídeo, fazemos uma introdução ao arco seno, que é a função inversa de seno, e falamos sobre seu principal contradomínio. Versão original criada por Sal Khan.
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- Aos, não seria 360 graus? Só um pequeno erro haha 4:12(17 votos)
- Qual o motivo de se restringir a imagem para os quadrantes 1 e 4 para a definição da função arcsen ? Tem a ver com o fato de que se não o fizesse você teria valores de x assumindo 2 valores de y de modo que não respeitaria a definição de função e teria-se, por conseguinte, apenas uma relação?(11 votos)
- Sim, exatamente isso. Cada ângulo na parte direita do círculo trigonométrico têm seu simétrico na parte esquerda (por exemplo, 45° e 135°, 30° e 150°, 12° e 168°). Por causa dessa simetria, esses dois ângulos têm a mesma "altura", ou seja, o mesmo seno. Portanto, convenciona-se escolher o lado direito do círculo para ser o contradomínio (possíveis valores de imagem) da função, a fim de não se ter dois valores de imagem para cada valor do domínio, o que desrespeitaria a definição de função.(10 votos)
- Como ele já sabia que os catetos do triangulo tinha ângulos 30°, 60° 90°?(4 votos)
- Por se tratar de um triângulo inscrito no círculo trigonométrico, é possível afirmar que ele é um triângulo retângulo, isto é, que um de seus ângulos tem valor de 90º. A medida da hipotenusa sempre será 1, pois se trata do raio do círculo trigonométrico. Um dos lados tem medida √3/2, o que significa que seu ângulo oposto é 60º (seno de 60º=√3/2). Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º: 180-60-90=30.(4 votos)
- Ainda não entendi a parte da imagem que só pode ser entre pi e -pi ou alguma coisa do gênero. Por que esses intervalos e quais são as regras para os intervalos para tangente, cosseno e secante? (eu sei que ele diz quais são, mas não achei tão claro)(3 votos)
- As funções arcoseno, arcocosseno e arcotangente são funções inversas do seno, cosseno e tangente, respectivamente. Porém ao observar o gráfico das funções seno, cosseno e tangente, verificamos que ela é periódico e por esta razão não é possível obter sua função inversa. Para isso você limita o domínio deles até que ela vire uma função bijetora, ao atingir este requisito, basta trocar o domínio pela imagem e a imagem pelo domínio. Ao fazer isto, você adquire o intervalo citado no vídeo.(6 votos)
- o homem no vídeo falou que uma volta completa são 365°... não eram 360?(3 votos)
- A função seno é bijetiva?Porque parece que ela possui mais de um valor de x corresponde a um de y... Quais são as particularidades a que se deve dar atenção ao definir a inversa de uma função senoidal?(2 votos)
- A função seno definida de R em R (domínio e contradomínio reais) não é injetiva (porque infinitos valores de x resultam na mesma imagem) e nem sobrejetiva (porque a imagem se restringe aos valores entre -1 e 1), portanto não é bijetiva. Para se definir a inversa, é essencial alterar o domínio e o contradomínio a fim de que a função se torne bijetiva. Desse modo, restringe-se o domínio para apenas uma volta do ciclo, e só a parte direita (1º e 4º quadrantes), e restringe-se o contradomínio aos reais entre -1 e 1, para que fique igual ao conjunto-imagem.(1 voto)
- Antes dos 5 min de video o professor fala que ao girar 365º volta ao mesmo ponto, não seria 360º?(2 votos)
- acho que esse segundo módulo de trigonometria deveria ser mais detalhado. Estou tendo muita dificuldade. Pouca explicação(2 votos)
- 365 graus? kk, confundiu com os dias do ano.(1 voto)
- Se não estivéssemos no circulo trigonometrico, o dominio pra seno seria diferente do que está no vídeo?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA - Imagine que eu estou andando na rua.
De repente, vejo você, te paro e te pergunto assim: Vem cá, você sabe quanto é o seno de π sobre 4? É claro, nós estamos lidando com radianos,
você poderia ter isso decorado ou, então, você poderia desenhar, digamos, o círculo unitário. Beleza? Aqui está o círculo unitário e, aí, você iria 45 graus aqui no sentido positivo,
uma vez que π/4 radianos é a mesma coisa que 45 graus.
Daí, você desenha aqui esse raio do círculo unitário e o seno é definido como sendo a coordenada do "y" desse círculo unitário aqui. Então, o que você precisa saber é esse valor aqui. Você me diz: "Ok, esse ângulo tem 45 graus.
Deixe eu desenhar um triângulo retângulo um pouquinho maior aqui.
Esse ângulo aqui, então, é 45, esse aqui também vai ser 45°
e, aqui, 90° e aí você pode resolver. Este triângulo retângulo 45, 45, 90.
A hipotenusa aqui mede 1. Posso dizer que esse lado aqui mede "x",
eu ainda não sei a medida dele. Este aqui também mede "x" e eles vão ter, claro, a mesma medida, uma vez
que este triângulo é um triângulo isósceles. Repare que os ângulos dessa base são iguais. Você pode me dizer que
x² + x² = 1². Então, 2x² = 1,
x² = 1/2. Então, x = 1/√2, e eu posso multiplicar aqui em cima e embaixo pela √2. E o valor final deste "x" vai ser √2 sobre 2. Portanto, essa altura aqui, esse lado, vai ser √2 sobre 2, assim como essa distância aqui também
vai ser √2 sobre 2. Mas o que nos interessa
é essa altura, porque o valor do seno de π/4 vai ser essa medida aqui,
que é a coordenada no eixo "y". E a gente acabou de calcular que isso
vai ser igual a √2/2. Agora imagine que estamos em outro dia
e eu chego para você e pergunto assim: Vem cá, o arco seno de √2/2, quanto vai ser? Você me responde: Ora, eu sei quanto é o seno,
agora arco seno, isso é uma coisa nova para mim,
é uma nova função trigonométrica. Eu não sei quanto vai dar isso! Tudo o que você tem que fazer quando você tem
essa palavra "arc" aqui na frente, normalmente, isso é a mesma coisa
que a função inversa, é o inverso do seno. E isso poderia ser escrito de outra forma, desse jeito aqui, seno a -1 de √2/2. É o inverso do seno de √2/2. A pergunta que é feita aqui é a seguinte:
qual é o ângulo que, quando eu calculo o seno desse ângulo, o resultado dá √2/2?
Qual vai ser esse ângulo? Da mesma forma, essa pergunta do arco seno
aqui em cima, é a mesma coisa. Qual é o ângulo que, quando eu calculo
o seu seno, dá √2/2? E aqui eu poderia reescrever
cada uma dessas afirmações desse jeito: o seno de quê é igual a √2/2?
E essa, na minha opinião, é uma questão mais fácil para você responder,
pois eu acabei de determinar que o seno de π/4 é igual a √2/2.
Então, nesse caso eu sei que o seno de π/4 = √2/2.
Então, esse símbolo de interrogação que eu estou querendo calcular
vai ser igual a π/4. Eu poderia reescrever tudo isso como
o arco seno de √2/2 = π/4. Então, novamente revisando o que eu falei aqui. O que eu quero saber é qual é o ângulo que,
quando eu calculo o seno desse ângulo, me dá √2/2 como resultado. Você pode me dizer: ok, 45 graus funcionou!
Mas eu poderia continuar adicionando 360° e, sempre que eu fizesse isso, iria funcionar,
porque sempre que eu fizer 360°, vai retornar para esse mesmo ponto
aqui no círculo. Concorda? Então, todos esses valores seriam
respostas corretas para isso, não é? Porque sempre que eu adicionar 360° a esses ângulos, vou retornar para o mesmo ponto e vai sempre dar √2/2 o resultado do seno. E isso para mim é um problema,
eu não posso ter uma função, digamos f(x), que tenha múltiplos valores.
Concorda? Essa função me daria π/4, depois π/4 + 2π, que seria uma volta completa. Depois, π/4 + 4π, de maneira que essa função do inverso do seno seja válida, eu vou precisar
restringir a imagem dessa função. Mas antes disso eu vou te fazer uma pergunta: qual seria o domínio dessa função aqui? Vamos lá! Vamos tentar calcular o domínio dessa função.
Se eu estou calculando aqui o arco seno de alguma coisa que estou chamando de "x"
e isso vai dar igual a um ângulo Θ (teta), qual vai ser a restrição para o domínio dessa função?
Quais seriam os valores válidos para x? O x poderia ser igual a quanto?
Pois bem, se eu calcular o seno de um ângulo, eu posso apenas ter valores entre 1 e -1, não é isso? Então, o x vai ser maior ou igual a -1 e menor ou igual a 1, esse vai ser o domínio da função. E agora, para que essa função seja válida,
eu preciso restringir a imagem da função e, para essa função arco seno, convencionou-se restringir a imagem para o primeiro e o quarto quadrante, esta área aqui.
Então, o ângulo Θ está restrito a ser menor ou igual a o π/2 e maior ou igual a -π/2. Dado isso, vamos fazer um problema.
Deixe eu limpar essa área. Digamos que eu te pergunte agora:
Quanto é o arco seno de -√3/2? Eu posso ter isso memorizado e falar:
ora, eu sei que o seno de x ou seno de Θ vai ser igual a √3/2 e pronto! Mas eu não tenho isso memorizado.
Então, vou desenhar aqui o meu círculo unitário, eu preciso desenhar apenas o primeiro
e o quarto quadrante desse círculo unitário. Esse aqui é o eixo do y e esse aqui vai ser o eixo do x. Então, onde eu tenho que marcar neste círculo?
Ora, se eu tenho que o seno de um ângulo é igual -√3/2, isso que dizer que a coordenada do y é -√3/2, eles estão em algum lugar por aqui, assim. E aqui seria -√3/2, é aqui que nós estamos. E qual é o ângulo que me dá isso aí? Vamos pensar um pouquinho.
Esse aqui vai ser o ângulo, que vai ser um ângulo negativo, porque nós estamos indo
para baixo do eixo do x, no sentido horário. Agora vou desenhar um triângulo aqui,
isso seria meu triângulo. E agora vou dar um zoom nesse triângulo e fazer o que seria o ângulo Θ. Qual seria a medida desse lado aqui?
Seria a mesma medida do eixo y, que vai ser a mesma coisa que √3/2.
Na verdade, é menos, porque a gente está aqui para baixo. Mas vamos apenas descobrir qual é esse ângulo. Nós sabemos que é um ângulo negativo.
Eu espero que você perceba que quando você vir que um dos catetos é √3/2,
você saiba que é um triângulo 30, 60 e 90. Este lado é √3/2, este daqui vai ser 1/2
e este daqui, é claro, vai ser 1, já que é um círculo unitário e aqui é a hipotenusa
desse triângulo, que também é o raio, que é 1. Então, neste triângulo 30, 60, 90,
este ângulo que está oposto a √3/2 é igual a 60°. E este ângulo aqui é de 30°. Como a gente tem um ângulo negativo aqui,
o nosso Θ é igual a -60°. E para transformar este ângulo em radiano, basta que eu multiplique por π radianos
para cada 180°. Aqui os graus se cancelam e eu vou ter, então, que o Θ = -π/3 radianos. E agora eu posso afirmar que o arco seno
de -√3/2 = -π/3 radianos ou, de maneira equivalente,
eu poderia dizer que o inverso do seno de -√3/2 também é igual a -π/3 radianos. Para confirmar isso, eu posso usar minha calculadora
que já está configurada para radiano. Eu posso verificar no "second mode",
está em radiano. O que eu quero calcular é o inverso do seno.
Portanto, sen-1, de quanto? De -√3/2. Isso vai ser igual a -1,047... etc. Então, está me dizendo que isso vai ser igual
a -1,04 radianos, aproximadamente. Ou seja, - π3 seria -1,04. Vamos ver se eu posso confirmar isso. Se eu escrever aqui -π dividido por 3,
quanto isso vai dar? Olha lá, exatamente a mesma resposta. Mas apesar de ser a mesma resposta,
a calculadora não fala que isso é -π/3. Vejo você no próximo vídeo!