Introdução ao arco tangente

RKA3G - Bem, no último vídeo eu te mostrei que se eu estiver andando na rua e te perguntar assim: Quanto é arco seno de x? Isto vai ser igual a quanto? Eu te mostrei no vídeo que isto daqui é algo similar a isso. O seno de quanto é igual a x? Além disso, eu também mostrei que posso escrever esta parte aqui de cima como sendo também o seno inverso ou o inverso do seno de x igual a algum valor desconhecido. Estas duas formas de escrever são equivalentes, são duas maneiras diferentes de escrever a mesma coisa. Só temos que lembrar que este seno não está elevado a -1. Só está me dizendo que é a função inversa do seno, ok? E aí, a pergunta que estou fazendo é: qual é o ângulo cujo seno é igual a x? Seguindo o mesmo padrão, se eu estivesse andando na rua e te perguntasse: A inversa da tangente (tang-1) de x é igual a quanto? Você, imediatamente, na sua cabeça poderia pensar assim: Ora, ele está apenas perguntando o seguinte para mim, a tangente de qual ângulo vai ser igual a x? E aí eu preciso, apenas, descobrir qual é a medida deste ângulo. Digamos que eu esteja agora andando na rua. E você, como está percebendo, tem um monte de rua, mas enfim, e eu te perguntasse: Quanto é o arc tan(-1)? Ou então, de maneira equivalente, poderia te perguntar: qual é o inverso da tangente de -1? Essas duas perguntas são equivalentes. E se você não tem isso memorizado, você pode desenhar, se quiser, o círculo unitário, não é? Mas antes de ver isso, vamos primeiro recordar o que é a tangente. Ora, a tangente de um ângulo Θ (teta) vai ser igual ao senΘ dividido pelo cosΘ. E como você sabe, o senΘ é a coordenada do y no nosso círculo unitário. Assim como o cosΘ é a coordenada do x no nosso círculo unitário. Então, se eu tiver aqui um círculo unitário parecido com esse aqui e eu fizer nele um certo ângulo, que vou chamar de Θ. Este ângulo aqui, Θ. E aqui está a coordenada que eu quero, a coordenada (x, y). E a gente já sabe que a coordenada no y, quer dizer, isto aqui, vai ser o senΘ. Assim como nós sabemos também que esse valor aqui é o cosΘ. E, então, o que vai ser a tangente? Vai ser esta distância aqui, dividida por essa distância aqui. Ou você pode se lembrar do curso de álgebra, que a tangente vai ser a variação no y, dividida pela variação no x. Lembrando que este ponto aqui no centro da circunferência é o ponto zero, zero. Ou então, como resultado da variação y sobre a variação do x, a tanΘ vai ser a inclinação desta reta, deste segmento que, se eu estender, vira uma reta. Beleza? Portanto, a tangente vai ser a inclinação, vai ser igual à tanΘ. E se eu te perguntar agora: Quanto é o inverso da tangente de -1? Lembrando que eu posso reescrever isto como o arc tan -1. E o que eu quero saber aqui é: Qual é o ângulo que me dá uma inclinação da reta de -1? Então, eu vou desenhar o círculo unitário. Ele quer saber qual é a reta que me dá uma inclinação de -1 neste círculo unitário. E eu tenho aqui os meus eixos assim, o eixo y e o eixo do x. E uma inclinação de -1 vai ser algo assim, certo? Então, qual é esse ângulo aqui? Vou chamá-lo de Θ. Eu sei que esta distância vai ter que ser igual a esta distância aqui. Como você já pode reconhecer, eu tenho um ângulo de 90 graus este ângulo com este tem que ter a mesma medida. Portanto, este triângulo é um triângulo 45, 45, 90. E como já sabemos dos vídeos anteriores, esta distância vai estar aqui no eixo y que, neste caso, não está abaixo de zero no eixo do y. Então, vai ser igual a -√2 sobre 2. Essa distância aqui, no x, esse ponto aqui vai ser √2/2, certo? Vai ser a medida desta distância aqui. Então, pelo teorema de Pitágoras, (-√2/2)² + (√2/2)² = 1². Só que a coisa mais importante aqui para você descobrir é que esse triângulo é um triângulo de 45, 45 e 90 graus. E esse ângulo, se você olhar para ele... Vou redesenhá-lo aqui. Este ângulo é um ângulo de 45 graus e, como nós estamos indo para baixo do eixo do x na direção horária, este ângulo aqui vai ser um ângulo de -45°. E eu posso escrever o seguinte: que a tan -45° (nós estamos trabalhando aqui com graus) vai ser igual a este valor do y, -√2/2, sobre este valor do x, √2/2. Seno sobre cosseno de Θ. E isso vai ser igual a quanto? -1. Ou, de maneira equivalente, eu posso dizer que o arc tan -1 vai ser igual a quanto? A -45°, certo? E se eu quiser transformar esse ângulo que está em graus, em radianos, basta que eu multiplique por π radianos para cada 180 graus. E aí eu simplifico os graus. Então, isso vai dar -π/4 radianos. E, portanto, o arc tang -1 = -π/4 radianos. Ou, então, eu posso escrever, como a gente já viu, de maneira equivalente, que o inverso da tangente de -1 vai ser igual a -π/4 radianos. E você pode pensar: ora, aqui eu tenho o valor de -1, certo? Porque essa inclinação vale -1, como a gente já viu. Mas se eu der, por acaso, uma volta ao redor do círculo, eu vou novamente parar neste ponto. E, portanto, se eu somar 2π a esse valor, eu vou ter também novamente uma inclinação de -1. E a tangente deste ângulo aqui, claro, vai ser igual a -1 também. E se eu der outra volta ao redor do círculo (mais 2π), novamente, eu vou ter o mesmo resultado. Ou, então, repare só! Eu posso vir para este ponto aqui e, neste ponto, a tangente também é igual a -1. Por quê? Porque é essa mesma inclinação aqui, é ou não é? E como eu disse lá no vídeo do seno, eu não posso ter uma função que, quando eu dou valor a essa função, ela me retorne vários outros valores. Isso não pode acontecer, certo? Portanto, eu não posso ter que a tan-1 ou inverso da tangente de x me dê vários valores diferentes. Ela não pode me dar como resultado o -π/4, assim como não pode me dar, ao mesmo tempo, 2π - π/4 ou 4π - π/4. Não pode me dar esse montão de valores aqui, certo? Portanto, para que isso não aconteça, vou precisar restringir a imagem desta função aqui. Vou restringir a imagem da função no primeiro e no quarto quadrantes. Portanto, a resposta para a nossa tangente inversa vai sempre estar em um desses dois quadrantes aqui, no primeiro ou no quarto. Mas repare só, não pode ser nem este ponto aqui, nem este ponto aqui, porque a função tangente se torna indefinida nestes dois pontos. Ou seja, no π/2 - π/2 também. Por quê? Porque a sua inclinação fica totalmente vertical e, assim, a sua variação no x é zero. E como o ponto do x é o cosseno, como é que eu vou dividir aqui por zero? Não dá! Portanto, deixa eu escrever qual vai ser essa imagem. Digamos que eu queira calcular todos os valores possíveis para essa função, os valores do x. Tangente de Θ é igual a x. Quais são os valores que esse x pode assumir? Ora, esses são todos os valores possíveis para a inclinação daquela reta e a inclinação pode assumir qualquer valor, desde menos infinito até o mais infinito. Portanto, o x vai precisar ser maior do que -∞ (qualquer número de -∞ em diante) e menor que +∞. Ou seja, pode assumir, na verdade, qualquer valor. Mas e o Θ? Como a gente viu aqui em cima no gráfico, Θ pode ir do π/2 até -π/2. Neste primeiro e no quarto quadrante. Só que ele não pode ser nem π/2 e nem -π/2. Portanto, vamos escrever lá. Antes de escrever, só lembrando que aqui eu tenho a função da tangente, não é o inverso da tangente! Aqui é a tangente. Neste caso, falando do inverso da tangente, eu não posso ter essa porção de valores. E, portanto, a imagem do inverso da tangente vai precisar ser maior do que -π/2 e menor. Portanto, voltando lá no gráfico, se eu restringir o valor do Θ entre esses dois ângulos aqui, eu vou ter apenas uma resposta para o arco tangente ou a tangente inversa do Θ. E para responder essa pergunta, a tangente inversa de -1 vai ter um valor que vai ser esse daqui, ou seja, se eu ultrapassar este valor, eu vou estar fora da imagem. Então, não vai valer, certo? Portanto, o único valor possível vai ser o deste ângulo Θ aqui, beleza? Agora vamos ver se nós realmente calculamos isso corretamente. Eu vou usar para isso a minha calculadora. Olha só, eu vou ligar. Vou calcular aqui a tangente inversa de -1. Isso dá igual a -0,7853... etc. E o que eu quero saber é se isso daqui é igual a -π/4. Vamos ver, -π/4, quanto dá? Exatamente a mesma coisa! Mas é claro que, para chegar a este valor, -π/4, a gente tem que resolver sem a calculadora, pois é muito difícil perceber que este número aqui é -π/4. Então, é isso! Nos vemos no próximo vídeo.