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Como restringir os domínios de funções para torná-las inversíveis

Transcrição de vídeo

RKA - Para quais intervalos podemos restringir "f(x) = cos(x - π/4)" para que f(x) seja inversível? Aqui, ele te mostra como a função se comporta, o gráfico da função. Então, vamos pensar um pouquinho agora sobre o que significa uma função ser inversível. Pois bem, a função, ela liga um elemento de um conjunto que nós chamamos de "domínio" (aqui vai estar o meu domínio da função) num outro conjunto de elementos que é chamado de "imagem (então, aqui, está a imagem dessa função). O que a função faz é pegar um elemento do domínio e ligar, conectar, num elemento lá da imagem; é isso que uma função "f" faz. E o que uma função inversa faz é pegar um elemento da imagem e ligar lá no domínio. Então, essa daqui seria a inversa da "f". Portanto, a "f" tem essa direção aqui do domínio para a imagem, e a inversa tem a direção da imagem para o domínio. E uma das situações, digamos, em que uma função não é inversível é quando eu tenho dois elementos aqui do domínio que vão se conectar a um mesmo elemento lá na imagem. Dessa forma aqui. Então, esses dois aqui fariam parte dessa função. E, quando isso acontece, você não é capaz de criar uma outra função que conecte um elemento da imagem a um elemento do domínio apenas. Pois imagine essa situação aqui: quando você fizer o inverso disso, esse elemento aqui, ele vai se ligar a esse aqui no domínio ou a esse outro aqui? E, portanto, uma das maneiras de raciocinar sobre isso é que eu preciso de uma relação de 1 a 1; ou seja, para cada elemento aqui da imagem, eu preciso ter apenas um elemento do domínio que se conecte a essa imagem. E uma outra maneira seria você traçar aqui uma reta horizontal e ver se essa reta vai cortar essa função em mais de um ponto; e isso é exatamente o que acontece com essa função aqui, certo? Deixe-me fazer aqui de uma outra maneira para ficar mais fácil de visualizar. Então, por que será que essa linha horizontal aqui é tão importante? O que ela nos mostra é que há alguns elementos aqui no domínio que estão se conectando a uma mesma imagem, que no caso é o "0,5". Quer dizer, nesse ponto aqui, quando você conecta na função aqui no gráfico, ele te retorna o valor "0,5", assim como esse ponto aqui também. Quando você vê o valor dele na função, ele também se conecta ao "0,5". E ainda tem aqui um terceiro: a função desse ponto aqui também vai ser "0,5", certo? Então, se você tem mais de um elemento aqui no domínio (que é o eixo do "x") que, quando eu conecto esses valores na função, eles me retornam uma mesma imagem, então, essa função não é inversível. No caso, não é inversível para este domínio, então o que a gente vai fazer é restringir o domínio da função. E, aí, fazendo essa restrição, quando eu fizer essa linha horizontal, eu apenas intercepto o gráfico uma única vez com essa linha horizontal aqui. Para isso, vamos olhar para essas opções. A primeira me diz que é um intervalo aberto que vai do -5/4(π) até o -1/4(π). Então, vamos localizar esse ponto -5/4(π). Aqui, eu tenho o -π, então, isso é um pouquinho mais para a esquerda; deve ser por aqui assim. Então, ela vai daqui até o -1/4(π), certo? Então, até por aqui assim. E, portanto, esse daqui vai ser o nosso novo domínio ali naquela opção. Lembrando que ela não está incluindo esses pontos finais aqui, o ponto inicial e o ponto final. E, aqui, eu posso novamente usar aquela reta horizontal e ela vai cortar o gráfico em dois pontos diferentes. Está me dizendo que nesse domínio aqui tem dois pontos aqui, pelo menos, que vão me retornar a mesma imagem. Então, digamos que eu calcule a inversa dessa função, e, aí, qual seria a imagem dessa inversa nesse ponto aqui que seria o "-0,6"? Seria esse ponto aqui ou seria esse outro ponto aqui? Então, não dá nesse caso aqui. Então, eu posso eliminar essa opção. A próxima opção me diz para considerar do -π até o π. E, portanto, vai desde o -π aqui até esse π, incluindo esses pontos. Então, vai daqui até aqui, incluindo ambos esses valores. E, uma vez mais, nesse domínio aqui, eu posso aplicar aquela reta horizontal... (na verdade, eu poderia até aproveitar aquela que está já ali em cima em azul)... e eu percebo que tem aqui dois elementos no domínio que vão se conectar a esse elemento aqui da imagem, "0,5". Então, qual vai ser a inversa nesse ponto "0,5" aqui? Você não consegue construir essa inversa que te ligue apenas a um elemento aqui no domínio, certo? Então, eu posso eliminar essa opção aqui também. Nessa outra opção aqui é um intervalo que está indo desde o -1/2(π) até 1/2(π). Portanto, daqui até aqui. Esse pedaço todo aqui. E essa opção aqui, ela é interessante, porque eu posso aplicar a minha linha horizontal aqui, aqui e aqui, e só está me retornando um ponto, porém, se eu aplicar a minha linha horizontal aqui, eu vou ter dois pontos diferentes. Então, eu vou ter dois elementos desse domínio se ligando ao mesmo ponto na imagem. Então, eu posso ignorar essa opção também. E, agora, eu tenho apenas mais uma opção, e eu espero que essa seja a correta, né? E ela está indo desde o 1/2(π), então desde aqui, aberto, no 1/2(π), até 5/4(π). Então, aqui a gente tem o π; mais 1/4 disso, vai me dar 5/4(π). E, aí, então, se eu verificar aqui, fizer aquele teste da reta horizontal, pelo que eu estou percebendo aqui, essa opção vai ser a correta. Em qualquer ponto, eu posso fazer uma reta horizontal que ela não vai interceptar em mais de um ponto, tá? Então, como você pôde perceber aqui, para todo o domínio, essas retas horizontais, elas interceptam a função apenas em um ponto, uma única vez, certo? Então, para cada elemento desse domínio aqui, eu vou ter apenas um único elemento na imagem, e essa opção passou no teste da reta horizontal. Nos vemos no próximo vídeo!