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Cálculo da medida de um ângulo usando a lei dos cossenos

Transcrição de vídeo

RKA - Digamos que nós estejamos estudando uma certa formação rochosa ou, sei lá, um morro, e você foi capaz de medir as dimensões desse morro. Digamos que aqui, no nível do solo, deste ponto até este ponto tenha 60 metros; este outro lado aqui (tipo um penhasco), o lado mais inclinado desta figura, meça 20 metros; e este outro lado aqui, um pouco menos inclinado, meça 50 metros. E o que eu quero que você faça aqui neste exercício é usar os seus conhecimentos de trigonometria para calcular o quão inclinado é este lado aqui de 50 metros; ou, em outras palavras, calcular a medida deste ângulo θ aqui. Então, eu te encorajo a pausar o vídeo e tentar você resolver este exercício sozinho. Pois bem. Nesta questão aqui, como a gente sabe três lados de um triângulo e a gente quer determinar a medida deste ângulo aqui, na minha cabeça, vem direto a lei dos cossenos. Portanto, eu vou verificar aqui se a lei de cossenos vai ser útil para mim. Mas, antes de aplicar diretamente aqui a lei dos cossenos, deixe-me escrever a lei dos cossenos aqui embaixo. Então, a lei dos cossenos nos diz que: "c²" é igual a "a²" mais "b²" menos 2 vezes "ab" vezes o cosseno do ângulo θ. E, só para lembrar o que é o "c", o "a" e o "b", vamos desenhar aqui um triângulo arbitrário. Digamos, este triângulo aqui. E, aí, eu vou dizer que bem aqui vai estar o meu ângulo θ. Ora, o "c" é o lado oposto ao ângulo θ. Então, se o θ está aqui, o "c" vai ser este lado aqui. Está certo? Ele é sempre o lado oposto ao ângulo θ. E o "a" e o "b"? Ora, o "a" pode estar aqui e o "b" aqui. Na verdade, tanto faz, poderia ser o contrário também. Eu posso escrever assim: o "b" aqui e o "a" aqui, já que o "a" e o "b", nesta fórmula aqui, têm o mesmo papel, desempenham a mesma função. Eles estão se somando, então, tanto faz a ordem, o "b" ou o "a". Beleza? Bom, agora, como nós queremos calcular a medida deste ângulo θ neste nosso exemplo aqui, neste morro, nesta a formação rochosa, então, se aqui eu tenho um ângulo θ, qual vai ser o lado "c" desta fórmula aqui? O lado "c" vai ser o lado oposto ao ângulo θ, ou seja, o "c" vai ser este 20 aqui. Sim ou não? E o "a"? Ora, o "a" pode ser tanto o 60 metros como o 50 metros. Vou determinar que seja 50, beleza? Tanto faz. E o "b", então, vai ser igual a 60 metros. Agora, nós podemos, sim, aplicar a lei dos cossenos, que vai ser o seguinte: 20² vai ser igual a "a²" (quanto é o "a²"? 50², né? Então, 50²) mais o "b²" (ou seja, 60²) menos 2 vezes o "a" (que é 50, sim ou não? Então, menos 2 vezes 50) vezes o "b" (que é 60), tudo isto multiplicado ainda pelo cosseno de θ. É ou não é? Está aí, então, a lei do cosseno. Agora, é só a gente calcular. E isto aqui realmente vai resolver o nosso problema, já que eu tenho todas as informações numéricas aqui e apenas uma incógnita. É ou não é? Então, basta resolver e calcular o valor deste θ. Ora, aqui vai ser o seguinte: 20² vai dar quanto? Vai dar 400. É ou não é? 50² vai dar 2.500. 60² dá 3.600. Sim ou não? E 2 vezes 50 vezes 60, quanto vai dar? Quando vai dar isto aqui? Ora, 50 vezes 60 vai dar 3.000; 3.000 vezes 2, 6.000. Então, vai dar "-6.000". Sim ou não? Então, "-6.000(cos θ)". Agora, é só a gente resolver essa equação aí. Pois bem, aqui eu vou ter 400. Aqui, "2.500 + 3.600", quanto vai dar isto? Ora, isto vai dar 6.100. É ou não é? "2.000 + 3.000" dá 5.000; "500 + 600" dá 1.100. Então, 5.000 com 1.100, 6.100. Certo? Isto aqui tudo deu 6.100... menos "6.000(cos θ)". Está lá, sim ou não? (cos θ) O que que eu vou fazer agora aqui? Eu vou subtrair em ambos os lados 6.100. E, aí, eu já vou começar a isolar o valor do θ ali. É ou não é? Então, tirando 6.100 de ambos os lados... (menos 6.100 aqui também)... a gente vai ter o seguinte: "400 - 6.100", isto vai dar "-5.700". Sim ou não? Isto vai ser igual... aqui vai dar zero, e isto aqui vai ser igual, então, a "-6.000(cos θ)". Beleza? Tranquilo. Agora, eu vou dividir esta equação toda, em ambos os lados, por -6.000, para poder isolar o cosseno de θ ali. Então, -6.000 aqui, dividindo; e aqui também eu vou dividir tudo isto por -6.000. O que que eu vou fazer aqui então? Eu posso simplificar este lado aqui, né? Dividir por 100. Na verdade, por -100. Quando eu dividir por -100, "menos" com "menos" vai dar "mais", então, vai ficar positivo aqui deste lado; e, aqui, -6.000 dividido por -6.000 vai dar 1. E, agora, eu vou reescrever isto daqui, na verdade, colocando o cosseno de θ aqui do outro lado (né?), apenas aplicando a propriedade transitiva da igualdade. Sim ou não? O cosseno de θ vai ser igual a 57/60. E, na verdade, ainda dá para simplificar um pouco mais, né? 57 e 60, ambos estes números aqui, são divisíveis por 3. O 3 cabe 19 vezes dentro do 57, ou seja, 57 dividido por 3 dá 19. Então, posso colocar 19 aqui. E 60 dividido por 3 vai dar 20. É ou não é? Na verdade, eu não precisava nem calcular isto daqui, porque eu vou usar uma calculadora para poder achar estes valores, mas só para deixar mais simples, né? A gente está simplificando esta fração. Sim ou não? E o que que eu vou fazer agora, então, para determinar o valor do θ? Ora, o cosseno inverso. Sim ou não? Quando eu fizer o cosseno inverso em ambos os lados, aqui eu vou ter o valor do θ e isto aqui vai ser igual ao cosseno inverso (ou o arcocosseno) de quanto? De 19/20. Sim ou não? Então, 19/20 aqui no argumento. Vamos, agora, então, como eu falei, usar a calculadora para descobrir quanto é o "cos⁻¹ (19/20)". Olha só! Vamos lá. cos⁻¹ (então, vai ser aqui) de 19 dividido por 20. Quanto vai dar isto? Vou dar um "enter"... olha aí: "18,1948 blá blá blá". Ou seja, aproximando aqui na casa dos centésimos, "18,19" graus. Deixe-me verificar se está em graus aqui a minha calculadora, né? Está, aí, graus! Aqui é radianos; [aqui é] graus. Então, beleza, está certo! Tranquilo? Então, arredondando um pouco mais ainda, apenas para uma casa decimal, isto é a mesma coisa... aproximadamente "18,2" graus. E esta resposta aqui nos dá um senso do quão inclinado este lado aqui deste morro é. Está certo? Então, nos vemos no próximo vídeo!