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Conteúdo principal

Demonstração da lei dos senos

Transcrição de vídeo

RKA - O que eu vou fazer neste vídeo é demonstrar a lei dos senos. Eu vou fazer isso através do desenho aqui de um triângulo qualquer, arbitrário. Eu vou desenhar esse triângulo aqui de qualquer maneira (vai ficar meio estranho, meio "torto", né?), só para você aplicar para qualquer tipo de triângulo. Então, digamos que seja um triângulo mais ou menos assim, certo? Beleza? Aqui está o triângulo meio torto (não daquela maneira padrão que a gente conhece). E digamos, agora, que a gente conheça o valor desse ângulo aqui. Na verdade, "conhecer" não, porque a lei dos senos relaciona diferentes ângulos e diferentes lados. Então, é o seguinte: vamos dizer que esse ângulo aqui, então, seja α (alfa); e esse lado aqui, o lado oposto a esse ângulo α, seja A. E digamos também que esse ângulo aqui, por exemplo, seja um ângulo β (beta); e o lado oposto ao ângulo β seja o lado B. O que eu quero fazer agora aqui é achar alguma coisa que relacione os ângulos α, β e os lados A e B. Vamos ver como a gente pode fazer isso. É claro que eu espero que essa relação que a gente encontre aqui seja a própria lei dos senos, senão eu vou ter que renomear esse vídeo. Mas vai dar certo. Vamos lá! Primeiro, deixa eu desenhar uma altura desse triângulo aqui. A altura vai ser o seguinte: vai partir desse vértice, e, é claro, como você sabe, toda altura forma um ângulo de 90 graus (um ângulo reto) com a base (então, aqui está bom, assim, né? Formou um ângulo reto com a base, tá? Cuidado aqui!). Isso aqui, então, é uma altura desse triângulo arbitrário que eu desenhei. Portanto, como eu acabei de falar, esse ângulo aqui vai ser um ângulo de 90 graus, e eu não sei a medida desse lado aqui; eu só sei que eu desenhei um segmento que vai desse vértice até essa base, de maneira que ele é perpendicular a essa base aqui, certo? Então, vamos chamar a medida dessa altura laranja aqui de "x". Será que eu consigo encontrar agora uma relação entre o ângulo β, esse lado A e o "x"? Sim, a gente pode encontrar. Qual vai ser essa relação? Ora, aqui é o seguinte: eu estou tentando determinar uma relação entre o ângulo β, o seu cateto oposto (o "x" é oposto ao ângulo β)... e o A, ele é o quê? Ele é a hipotenusa desse triângulo retângulo aqui. Qual vai ser, então, essa função trigonométrica que eu vou relacionar o β, o "x" e o A? Ora, eu posso primeiro escrever o SOH CAH TOA, pois, sempre que eu lido com trigonometria, eu gosto de escrever o SOH CAH TOA (facilita na hora de encontrar a razão trigonométrica apropriada). E qual é, então, a razão trigonométrica que lida com o oposto e a hipotenusa? Olha aqui! É o seno. Obviamente, eu quero provar a lei dos senos, então, eu vou ter que usar o seno. Então, vamos lá! O seno desse ângulo β vai ser igual, então, ao oposto (que é "x") sobre a hipotenusa (que é A), certo? E, para descobrir o valor do "x", então, eu multiplico ambos os lados por A, e eu vou ter o quê? Eu vou ter que "A(sen β)" é igual ao valor do "x". Beleza! Agora, vamos ver se a gente consegue encontrar uma relação entre o α, o "x" e o β. De maneira bem similar ao que nós fizemos agora aqui, qual vai ser a razão trigonométrica que vai lidar com α, "x" e B? Ora, o "x" é o cateto oposto ao α; e o B aqui vai ser a hipotenusa desse triângulo retângulo aqui, certo? Pois, é claro, se esse ângulo aqui é um ângulo de 90, esse aqui também vai ser um ângulo de 90, e esse triângulo aqui vai ser um triângulo retângulo, certo? E, agora, eu posso usar, então, o seno do ângulo α, certo? É o oposto sobre a hipotenusa. Então, vamos lá! "sen α" é igual ao cateto oposto (qual é o cateto oposto aqui? É "x") sobre a hipotenusa (a hipotenusa aqui vai ser B). Então, está aí. E, agora, vamos encontrar novamente o valor do "x", multiplicando ambos os lados aqui por B, certo? Então, eu vou ter o quê? Que "B(sen α) = x". E o que nós deduzimos, então, do resultado do que nós fizemos aqui? Ora, aqui eu tenho que "A(sen β) = x", e aqui eu tenho que "B(sen α) = x". Então, se o "x" é igual a "A(sen β)", e o "x" também é igual a "B(sen α)", então, obviamente, "A(sen β)" é igual a "B(sen α)", certo? Ou seja, escrevendo aqui a nossa conclusão, a que nós chegamos: "A(sen β) = B(sen α)". É ou não é? E, agora, o que nós podemos fazer aqui? Eu posso dividir ambos os lados da equação por A. Então, eu vou ter que "sen β" é igual a "B(sen α)" sobre A. E depois? Agora, eu posso dividir ambos os lados por B, né? Então, eu vou ter o quê? Do lado esquerdo aqui eu vou ter que "sen β" sobre B é igual ao "sen α" sobre A. Sim ou não? E essa daqui é a lei dos senos que nós queríamos provar. Olha só! A razão entre o seno de um ângulo, digamos, aqui, do ângulo β, e o seu lado oposto, que é o B, vai ser igual à razão entre o "sen α" e o seu lado oposto, que é A, certo? E, aí, nós podemos deduzir também outra informação: que, se eu tiver aqui um outro ângulo, digamos, θ (teta), e esse lado todo aqui de baixo for um lado C, isso aqui também vai ser igual a "sen θ" sobre C, certo? E, para deduzir essa igualdade aqui, do "sen θ" sobre C também, eu posso demonstrar isso de um maneira bem similar a que eu fiz aqui, certo? Só que, em vez de desenhar essa altura aqui, eu poderia fazer essa altura aqui, daqui para cá, certo? E, aí, eu poderia fazer exatamente as mesmas contas e chegar nessa conclusão aqui também para o "sen θ" sobre C. E, é claro, exatamente porque isso aqui é uma razão (isso aqui que nós acabamos de demonstrar), eu posso também fazer o recíproco dessas frações aqui. Como? Ora, assim: B sobre o "sen β" igual a A sobre o "sen α", certo? Isso daqui vai ser útil por quê? Ora, se você souber um lado e o ângulo referente a esse lado (o ângulo que está oposto a esse lado), e também souber, digamos, a medida do outro lado, você vai descobrir a medida do outro ângulo, que é oposto àquele lado. Ou seja, de maneira resumida, é o seguinte: se você souber três informações, você deduz a quarta, certo? Então, por esse vídeo é só. Nos próximos vídeos, eu vou fazer alguns exercícios sobre a lei dos senos. E a gente se vê, então, nos próximos vídeos!