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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 2
Lição 7: Equações senoidais- Resolução de equações senoidais da forma sen(x)=d
- Conjunto solução algébrico da equação do cosseno
- Conjunto solução da equação do cosseno em um intervalo
- Conjunto solução algébrico da equação do seno
- Como resolver cos(θ)=1 e cos(θ)=-1
- Resolva equações senoidais (básicas)
- Resolva equações senoidais
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Conjunto solução algébrico da equação do cosseno
Resolva uma equação do cosseno com um número infinito de soluções. Use identidades trigonométricas para representar todo o conjunto solução. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA12MC - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos achar
a solução para a equação -6 vezes o cosseno de 8x
mais 4 igual a 5. E eu sugiro que você pause o vídeo e
tente resolver sozinho antes de prosseguirmos. Vamos lá então! O que queremos aqui é
um conjunto de soluções, e não somente uma solução, tá? E, para isso, vamos isolar
esse cosseno de 8x aqui. Mas como podemos fazer isso? Simples, vamos subtrair ambos
os membros dessa equação por 4 e, com isso, vamos ficar com
-6 vezes o cosseno de 8x e esse 4 aqui vai sumir
(já que 4 menos 4 vai ser zero), e 5 menos 4 vai ser igual a 1. Então, menos cosseno de 8x igual a 1. E, agora, eu posso multiplicar ambos
os membros dessa equação por -1/6, já que eu quero ficar somente
com o cosseno de 8x. E eu faço isso dos dois lados para
não desequilibrar a igualdade. E -1/6 vezes -6 vai ser igual a 1. E, aí, ficamos com o cosseno
de 8x igual a 1 vezes -1/6, que é a mesma coisa que -1/6. E poderíamos continuar aqui onde determinaríamos qual
cosseno seria igual a -1/6. E, depois, dividiríamos por 8. Eu obteria uma solução. Mas, aí, eu te pergunto: será que
estamos pegando todas as soluções? Para ter certeza, eu vou relembrar aqui
algumas identidades trigonométricas, tá? E, para isso, eu gosto sempre de
desenhar um círculo unitário aqui, onde esse é o eixo “x”
e este aqui é o eixo “y”, e o nosso círculo unitário
vai ser mais ou menos assim. E o que queremos saber é todos os ângulos
no qual eu tenho um cosseno igual a -1/6. -1/6 no eixo “x” está
mais ou menos aqui. Com isso, vamos ter esse
ângulo mais ou menos, né? Já que sabemos que o cosseno
de um ângulo é a coordenada “x” de onde esse raio é
definido por esse ângulo, ou seja, onde esse raio
intercepta o círculo unitário. Mas note que tem outro lugar também. Aqui no terceiro quadrante também
vamos ter um cosseno negativo, por isso vamos ter esse ângulo aqui
que vai nos dar o mesmo cosseno. E uma identidade que já vimos é
que o cosseno de menos teta (-θ) tem que ser igual ao cosseno de θ. Então, se o cosseno de 8x é igual a -1/6, então, utilizando essa
identidade trigonométrica, podemos determinar
também o cosseno de -8x, que, nesse caso,
também vai ser igual a -1/6. Ou seja, o cosseno de -8x
também é igual -1/6. Agora já encontramos
as nossas soluções, né? Até porque isso aqui vai te
dar um outro valor de “x”, que vai dar o resultado que queremos,
que, nesse caso, é 5. Tá, e digamos também que
eu tenha um outro ângulo aqui, em que o cosseno dele
também é igual a -1/6. Mas, se eu desse uma volta completa,
eu chegaria no mesmo lugar, correto? O cosseno novamente seria -1/6. E eu poderia ficar girando, ou seja,
adicionando dois pi (2π) infinitamente. Ou seja, poderíamos adicionar
2π um número inteiro de vezes, ou seja, um número qualquer. O que eu quero dizer é que
podemos reescrever isso aqui como o cosseno de 8x mais 2kπ igual a -1/6. E podemos também reescrever isso
aqui como o cosseno de -8x mais 2kπ (e, claro, esse “k” é um número
inteiro em ambas as situações) e isso também vai ser igual a -1/6. Agora, sim, estamos encontrando todas
as soluções possíveis para o valor de “x”. E, finalmente, podemos
encontrar essa solução. Vamos fazer isso juntos? Simples, aplicando o inverso do cosseno
em ambos os membros dessa equação, e, aí, ficamos com 8x mais 2kπ
igual ao inverso do cosseno de -1/6. Também poderíamos escrever
como arco cosseno de -1/6, tá? E, resolvendo para “x”, podemos subtrair
ambos os membros da equação por 2kπ, e aí vamos ficar com 8x igual ao
inverso do cosseno de -1/6 menos 2kπ. E uma coisa importante
que você tem que perceber é que o sinal desse -2kπ
não faz tanta diferença, tá? Isso porque o “k” pode
ser um inteiro positivo, mas também pode
ser um inteiro negativo. Mas, para continuar a solução,
eu vou considerar o negativo aqui, tá? E dividindo ambos os membros
dessa igualdade por 8, vamos ficar com “x” igual a 1/8
do inverso do cosseno de -1/6 menos “k” vezes π sobre 4. E podemos fazer a mesma coisa
com essa outra igualdade, né? E eu sugiro que você pause o
vídeo e tente resolver sozinho. Vamos lá então! De novo, aplicamos o inverso do cosseno
em ambos os membros da igualdade, e, aí, vamos ficar com -8x mais 2kπ
igual ao inverso do cosseno de -1/6. E subtraindo ambos os membros
dessa equação por 2kπ, vamos ficar com -8x igual ao inverso
do cosseno de -1/6 menos 2kπ. E multiplicando ambos os
membros dessa igualdade por -1/8, vamos ficar com “x” igual a -1/8 que
multiplica o inverso do cosseno de -1/6 mais “k” vezes π sobre 4. E essas duas soluções formam
o nosso conjunto solução, ou seja, a combinação dessas duas. E eu espero que esta
aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!