Conjunto solução da equação do cosseno em um intervalo

RKA20JL - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos tentar achar a solução aproximada de uma equação trigonométrica e temos esta equação aqui, cuja resposta é uma combinação dessas duas soluções aqui. Ou seja, são conjuntos de soluções, porque temos esse k inteiro aqui, que pode dar infinitas soluções. Ou seja, quando você muda o valor de k, você vai obter outra solução. Basicamente, o que vamos fazer nesta aula é encontrar todas as soluções possíveis dessa equação, que estejam no intervalo de -π/2 até 0. Claro, sugiro que você pause o vídeo e tente fazer isso sozinho. Vamos lá, então! Primeiro, note que essa solução aqui tem coisas como π, e o que quero fazer com ele é aproximá-lo para termos decimais. E como sabemos, π é aproximadamente 3,14, não é? Então, nesse intervalo, quando temos -π/2, a metade disso vai ser 1,57. Então, o nosso intervalo em termos decimais vai ser aproximadamente -1,57 até 0. Claro, como coloquei "aproximado", esse -1,57 não é exatamente -π/2. Mas é uma aproximação bem legal. Isso porque fica uma aproximação melhor para substituir aqui e achar valores para x. Já que estamos falando disso, vamos utilizar uma calculadora para descobrir toda essa parte aqui em termos decimais. Se você utilizar a sua calculadora, e encorajo você a fazer isso, você vai encontrar que 1/8 do inverso do cos de -1/6 vai ser igual a 0,22. E posso colocar isso já aqui. E π/4 é aproximadamente 0,785, Então x aqui vai ser aproximadamente 0,22 menos 0,785 vezes k. Claro, k é qualquer número inteiro, tá? E já aqui, do lado direito, temos -1/8, que multiplica o inverso do cos de - 1/6, e se você olhar, é a mesma coisa que tem aqui (só que com o negativo), então, vamos ficar com -0,22 e somamos isso com π/4, que é 0,785, e multiplicamos pelo k. Agora, o que resta fazer é testar diferentes valores de k, de modo que a solução da equação esteja dentro desse intervalo. Ou seja, vamos achar diferentes valores para x e ver se o resultado cabe aqui nesse intervalo. Começando com o lado esquerdo primeiro, deixa só eu criar uma tabela aqui que vai facilitar bastante o nosso trabalho. Nesta primeira coluna, vou colocar diferentes valores para k e, nessa segunda, diferentes valores para x. e quando k é igual a 0, não vamos ter essa parte aqui, porque qualquer coisa multiplicada por 0 vai ser igual a 0, né? Com isso, vamos ficar somente com 0,22. Então o x, neste caso, vai ser 0,22. Agora, uma pergunta: isso está dentro do intervalo? Como o limite superior é igual a 0 e 0,22 é maior que isso, então, essa resposta não está dentro do nosso intervalo. Ou seja, esse valor está muito acima. Então, precisamos encontrar valores menores do que esse 0,22. Por isso, é importante que, nesta multiplicação aqui, o valor de k seja positivo, porque aí, iríamos subtrair um valor desse 0,22. Quando k é igual a 1, essa multiplicação vai ser igual a 0,785. Então, vamos pegar o 0,22 e subtrair por 0,785, correto? Se fizermos isso, vamos ficar com -0,57, e esse valor está dentro do intervalo, não está? Por isso, esta é uma resposta válida, é uma solução, porque está dentro do nosso intervalo. E quando k é igual a 2? Vamos ter 0,785 vezes 2, que vai ser igual a 1,57. E aí, vamos ter 0,22 menos 1,57, que vai dar -1,35. E esse valor também é maior do que -1,57. Ou seja, ele cabe no nosso intervalo. E se multiplicarmos isso aqui por 3? Ou seja, quando k é igual a 3, vamos ficar com 0,785 vezes 3, que vai ser 2,355, e se subtrairmos 0,22 menos 2,355, vamos ter -2,14 e esse valor é menor do que o nosso limite inferior, ou seja, não está dentro do nosso intervalo, é um valor muito abaixo. Então, utilizando essa solução geral, conseguimos encontrar duas soluções particulares que caibam no nosso intervalo. Agora, vamos utilizar essa aqui. E, para isso, vou utilizar outra tabela. De novo, vamos ter diferentes valores para k e diferentes valores para x. De novo, vamos alterando o valor de k e vamos encontrar o valor de x. Quando k é igual a zero, essa parte aqui, esse termo, vai zerar. Com isso, vamos ficar somente com -0,22. E esse valor está abaixo do zero e está acima do -1,57. Ou seja, ele está dentro do nosso intervalo. Com isso, essa solução aqui é válida. A diferença agora é que podemos seguir dois caminhos diferentes: ou podemos tentar aumentar esse -0,22 ou diminuí-lo. Se quisermos aumentá-lo, podemos utilizar um k, por exemplo, igual a 1. Porque, se o k é igual a 1, vamos ficar com 0,785 vezes 1, que vai dar 0,785 e, depois, somamos com esse número aqui. Ou seja, vai ser uma resposta positiva, igual a 0,57. Note que esse valor é maior do que zero. Ou seja, não está no intervalo, é um valor acima, muito alto. E também, podemos encontrar valores abaixo desse -0,22, utilizando valores negativos para o k. Quando k é igual a -1, por exemplo, vamos ficar com isso aqui negativo, e se subtrairmos do -0,22, vamos ficar com -1,01. E esse é um valor que está dentro do nosso intervalo. Também posso utilizar o k igual a -2, isso significa que vamos multiplicar isso aqui por -2. Ou seja, 0,785 vezes -2 vai ser -1,57, e aí, -0,22 menos esse valor vai nos dar -1,79. E esse é um valor menor do que -1,57. Ou seja, está mais à esquerda do nosso intervalo, o que significa que está muito abaixo. Basicamente, o que quero dizer é que todos os valores que estão no intervalo que defini são soluções desta equação aqui. Fizemos uma aproximação. Claro, se você quiser, você pode aproximar ainda mais os valores decimais. mas acho que foi uma boa aproximação, né? Espero que esta aula tenha ajudado, e até a próxima, pessoal!