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Pré-cálculo
Curso: Pré-cálculo > Unidade 2
Lição 7: Equações senoidais- Resolução de equações senoidais da forma sen(x)=d
- Conjunto solução algébrico da equação do cosseno
- Conjunto solução da equação do cosseno em um intervalo
- Conjunto solução algébrico da equação do seno
- Como resolver cos(θ)=1 e cos(θ)=-1
- Resolva equações senoidais (básicas)
- Resolva equações senoidais
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Conjunto solução algébrico da equação do seno
Resolva uma equação do seno com um número infinito de soluções. Use identidades trigonométricas para representar todo o conjunto solução. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula nós vamos encontrar
a solução para essa equação, ou seja, queremos encontrar um valor de x em
radianos de modo que satisfaça essa equação. Eu sugiro que você pause o vídeo
e tente fazer isso sozinho. Vamos lá, então. O que provavelmente
você está tentando fazer é isolar esse seno de (x sobre 4)
e, de fato, essa é uma boa ideia. Mas como
podemos fazer isso? Primeiro, vamos começar subtraindo
ambos os membros dessa equação por 11 e aí vamos ficar com 8 vezes o seno de x/4
igual a 14 menos 11, que é igual a 3. Ainda tem esse 8 aqui,
e para tirá-lo do lado esquerdo, nós podemos dividir ambos
os membros dessa igualdade por 8 e aí vamos ficar com seno
de x/4 igual a 3/8. Antes de prosseguirmos,
vamos ver se essa, de fato, é a solução geral ou
se temos outras soluções aqui. Eu coloquei um círculo unitário aqui
e se traçarmos um ângulo θ aqui sabemos que o seno dele
é a coordenada y desse ponto aqui, que é a intercessão desse raio
com o círculo unitário. E círculo unitário
porque o raio é igual a 1 e sabemos que se
adicionarmos 2π aqui, vamos completar uma volta
e vamos voltar para o mesmo lugar. O mesmo acontece se subtrairmos 2π,
ou seja, o seno vai ser o mesmo. O que estou querendo dizer é que
o seno de θ mais qualquer múltiplo de 2π vai ser a mesma coisa
que o seno de θ e com isso vamos generalizar
isso aqui, ou seja, podemos escrever isso como
o seno de x/4 mais 2Kπ igual a 3/8. E claro, esse K
é um número inteiro e com isso aqui temos o conjunto
de todos os valores de x que vão dar 3/8. Uma outra coisa importante a se lembrar
para achar essa solução geral é que se aqui temos o ângulo θ
e o seno dele está aqui, existe um outro ponto nesse círculo
unitário que tem o mesmo valor de seno. Uma maneira de pensar no ângulo
é que esse aqui nós temos π, se subtrairmos θ vamos
continuar com a mesma coisa e, com isso, esse ângulo aqui
é a mesma coisa que π menos θ. O que eu estou querendo dizer
é que esse θ pode estar no primeiro, no segundo, no terceiro ou,
quem sabe, no quarto quadrante e quando você fizer π menos θ, o seno desse
ângulo vai ter o mesmo valor que o seno de θ, ou seja, o seno de (π menos θ)
é igual ao seno de θ. E claro, eu também posso reescrever
isso dessa forma, ou seja, o seno de (π menos θ) que,
nesse caso, é x/4, é igual a 3/8 e se quisermos, ainda podemos
utilizar isso aqui também, ou seja, somar 2π
ou subtrair 2π e o seno deste ângulo ainda
vai continuar sendo 3/8, ou seja, o seno de (π menos x/4 mais 2Kπ)
é igual a 3/8. Então se resolvermos isso juntos, ou seja,
a combinação dessas duas igualdades, vai nos dar um conjunto de solução mais
amplo. E é o que podemos fazer agora. Resolvendo essa primeira, podemos aplicar
o inverso do seno em ambos os membros dela e aí vamos ficar com x/4 mais 2Kπ
igual ao inverso do seno de 3/8. Aqui também poderíamos escrever
como o arco seno de 3/8, mas eu vou deixar desse
jeito aqui mesmo, tá? Então subtraindo ambos os membros
dessa igualdade por 2Kπ, vamos ficar com x/4 igual ao inverso
do seno de 3/8 menos 2Kπ. E uma coisa a se notar é que qualquer
que seja o valor inteiro desse K, esse sinal aqui não vai
fazer diferença, tá? Se o K, por exemplo, for negativo,
então essa parte vai ser positiva. Multiplicando ambos os membros
dessa igualdade por 4, vamos ficar com x igual a 4 vezes
o inverso do seno de 3/8 e 4 vezes -2Kπ
vai ser igual a -8Kπ. Utilizando os mesmos pensamentos
nessa igualdade aqui, primeiro vamos aplicar o inverso do seno
em ambos os membros da igualdade e, com isso, o seno
do lado esquerdo some e vamos ficar com π menos x/4 mais 2Kπ
igual ao inverso do seno de 3/8. Agora podemos subtrair ambos
os membros dessa igualdade por π e 2Kπ e, com isso, vamos ficar com -x/4 igual
ao inverso do seno de 3/8, menos π, menos 2Kπ. Se multiplicarmos todos
os membros dessa igualdade por -4, vamos ficar com x igual a -4
vezes o inverso do seno de 3/8, mais 4π, mais 8Kπ.
E pronto. Como eu falei, a união
dessas duas soluções nos dá todo o conjunto solução
dessa equação aqui. Eu espero que essa aula tenha
ajudado vocês, e até a próxima, pessoal!