Conjunto solução algébrico da equação do seno

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos encontrar a solução para essa equação, ou seja, queremos encontrar um valor de x em radianos de modo que satisfaça essa equação. Eu sugiro que você pause o vídeo e tente fazer isso sozinho. Vamos lá, então. O que provavelmente você está tentando fazer é isolar esse seno de (x sobre 4) e, de fato, essa é uma boa ideia. Mas como podemos fazer isso? Primeiro, vamos começar subtraindo ambos os membros dessa equação por 11 e aí vamos ficar com 8 vezes o seno de x/4 igual a 14 menos 11, que é igual a 3. Ainda tem esse 8 aqui, e para tirá-lo do lado esquerdo, nós podemos dividir ambos os membros dessa igualdade por 8 e aí vamos ficar com seno de x/4 igual a 3/8. Antes de prosseguirmos, vamos ver se essa, de fato, é a solução geral ou se temos outras soluções aqui. Eu coloquei um círculo unitário aqui e se traçarmos um ângulo θ aqui sabemos que o seno dele é a coordenada y desse ponto aqui, que é a intercessão desse raio com o círculo unitário. E círculo unitário porque o raio é igual a 1 e sabemos que se adicionarmos 2π aqui, vamos completar uma volta e vamos voltar para o mesmo lugar. O mesmo acontece se subtrairmos 2π, ou seja, o seno vai ser o mesmo. O que estou querendo dizer é que o seno de θ mais qualquer múltiplo de 2π vai ser a mesma coisa que o seno de θ e com isso vamos generalizar isso aqui, ou seja, podemos escrever isso como o seno de x/4 mais 2Kπ igual a 3/8. E claro, esse K é um número inteiro e com isso aqui temos o conjunto de todos os valores de x que vão dar 3/8. Uma outra coisa importante a se lembrar para achar essa solução geral é que se aqui temos o ângulo θ e o seno dele está aqui, existe um outro ponto nesse círculo unitário que tem o mesmo valor de seno. Uma maneira de pensar no ângulo é que esse aqui nós temos π, se subtrairmos θ vamos continuar com a mesma coisa e, com isso, esse ângulo aqui é a mesma coisa que π menos θ. O que eu estou querendo dizer é que esse θ pode estar no primeiro, no segundo, no terceiro ou, quem sabe, no quarto quadrante e quando você fizer π menos θ, o seno desse ângulo vai ter o mesmo valor que o seno de θ, ou seja, o seno de (π menos θ) é igual ao seno de θ. E claro, eu também posso reescrever isso dessa forma, ou seja, o seno de (π menos θ) que, nesse caso, é x/4, é igual a 3/8 e se quisermos, ainda podemos utilizar isso aqui também, ou seja, somar 2π ou subtrair 2π e o seno deste ângulo ainda vai continuar sendo 3/8, ou seja, o seno de (π menos x/4 mais 2Kπ) é igual a 3/8. Então se resolvermos isso juntos, ou seja, a combinação dessas duas igualdades, vai nos dar um conjunto de solução mais amplo. E é o que podemos fazer agora. Resolvendo essa primeira, podemos aplicar o inverso do seno em ambos os membros dela e aí vamos ficar com x/4 mais 2Kπ igual ao inverso do seno de 3/8. Aqui também poderíamos escrever como o arco seno de 3/8, mas eu vou deixar desse jeito aqui mesmo, tá? Então subtraindo ambos os membros dessa igualdade por 2Kπ, vamos ficar com x/4 igual ao inverso do seno de 3/8 menos 2Kπ. E uma coisa a se notar é que qualquer que seja o valor inteiro desse K, esse sinal aqui não vai fazer diferença, tá? Se o K, por exemplo, for negativo, então essa parte vai ser positiva. Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por 4, vamos ficar com x igual a 4 vezes o inverso do seno de 3/8 e 4 vezes -2Kπ vai ser igual a -8Kπ. Utilizando os mesmos pensamentos nessa igualdade aqui, primeiro vamos aplicar o inverso do seno em ambos os membros da igualdade e, com isso, o seno do lado esquerdo some e vamos ficar com π menos x/4 mais 2Kπ igual ao inverso do seno de 3/8. Agora podemos subtrair ambos os membros dessa igualdade por π e 2Kπ e, com isso, vamos ficar com -x/4 igual ao inverso do seno de 3/8, menos π, menos 2Kπ. Se multiplicarmos todos os membros dessa igualdade por -4, vamos ficar com x igual a -4 vezes o inverso do seno de 3/8, mais 4π, mais 8Kπ. E pronto. Como eu falei, a união dessas duas soluções nos dá todo o conjunto solução dessa equação aqui. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês, e até a próxima, pessoal!