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Resolução de equações senoidais da forma sen(x)=d

Transcrição de vídeo

RKA - Quais opções pertencem ao conjunto solução de "sen x = 1/3"? As respostas têm que ser aproximadas em centésimos. Selecione todas as que se aplicam. O que eu sugiro é que você pause o vídeo agora e tente resolver sozinho. Então, supondo que você já tenha feito, o que ele está me pedindo aqui? Ele quer o conjunto solução de "sen x = 1/3". Quais são os valores possíveis para “x” aqui? E, para nos ajudar a visualizar, eu vou desenhar o círculo unitário. Primeiro, eu vou desenhar aqui o eixo do "y"; agora, o eixo do “x”. Vou marcar aqui no eixo do “x” o ponto 1, e no eixo do “y” também o ponto 1. O -1 aqui no “x”, e o -1 aqui no “y”. E, agora, é só desenhar, então, o nosso círculo unitário que está centralizado no ponto (0, 0), beleza? Então, o nosso círculo unitário será mais ou menos isso aqui. E, agora, eu vou desenhar nosso ângulo. Ele vai partir aqui do centro. Aqui, sobre o eixo do “x”, está um dos lados desse ângulo; e eu vou fazer, com essa abertura aqui, o outro lado do ângulo. Então, eu vou chamar esse ângulo aqui de θ (teta). Então, o seno desse ângulo vai ser a coordenada do “y” nesse ponto aqui. Portanto, vai estar aqui, assim, né? Aqui vai estar o seno de θ. Então, dito isso, vamos descobrir qual tem que ser o valor do “x” para que aquele seno seja igual a 1/3. Então, onde vai estar o 1/3 aqui no eixo do “y”? Digamos que aqui tenha 2/3, aqui vai estar 1/3. Portanto, 1/3 vai estar bem aqui, assim. E nós vemos que isso vai dar igual a 1/3 em dois lugares diferentes: vai ser aqui e aqui. Então, nós temos pelo menos dois ângulos que vão me dar isso. Aliás, eu tenho mais, porque, a cada volta, eu vou ter dois ângulos que vão me dar um seno igual a 1/3. Então, aqui nesse círculo unitário, eu poderia ter esse ângulo aqui, que eu estou chamando aqui de "x", ou então eu poderia fazer todo esse percurso aqui até esse ângulo aqui. Certo? E, aí, eu poderia adicionar múltiplos de 2π para obter outros ângulos aqui. E, então, vamos usar nossa calculadora para descobrir qual vai ser o inverso do seno de 1 dividido por 3. O que nós temos que lembrar aqui é qual vai ser a imagem dessa função seno. O valor que vai me retornar aqui vai ser um valor entre -π/2 e π/2. E, portanto, vai ser um valor que vai nos manter ou no primeiro ou no quarto quadrante aqui. Vamos ver quanto isso vai dar igual... isso vai dar igual a "0,339 etc.". E como a gente quer aqui aproximar em centésimos, ele está me dizendo, então, que esse ângulo “x” aqui vai ser igual a “0,34”. Como eu sei isso? Isso é um ângulo positivo e é um ângulo que é menor do que π/2. Bom, como π é “3,14”, π divido por 2 vai dar “1,57”, e, então, esse ângulo aqui, como a gente pode perceber, é “0,34” radianos. E esse outro ângulo aqui, quanto ele vai ser? Ora, se eu subtrair esse ângulo aqui, que é “0,34” também, eu vou obter o valor desse ângulo. E, portanto, se eu calcular aqui quanto é o π menos a nossa resposta anterior, isso vai nos dar “2,8” radianos. Portanto, este aqui é “0,34”. Esse ângulo aqui vai ser o “π - 0,34” (esse ângulo todo aqui), que é a mesma coisa que “2,8” radianos. No caso de arredondar para o centésimo: “2,80”. Mas eu posso adicionar aqui os múltiplos de 2π. Por exemplo, “2,80 + 2π”. E, se eu multiplicar esse 2π por “n”, eu vou ter os múltiplos de 2π, com o "n" sendo um número inteiro. Ou, então, eu posso pegar esse “0,34” e somar também algum número múltiplo de 2π, com esse "n" também pertencendo aos números inteiros. Então, a nossa resposta (eu vou escrever aqui embaixo) vai ser “2,80 + 2πn”, com “n” sendo um número inteiro, e “0,34 + 2πn”, com esse “n”, também, um número inteiro. Então, vamos ver quais opções, pelo menos, é um subconjunto disso daqui. Bom, aqui ele nos dá “0,34 + 2πn” para “n” inteiro, e isso é exatamente o que nós escrevemos aqui. É ou não é? Então, um ângulo de “0,34” radianos, a gente vai ficar andando aqui em volta desse círculo mais 2π; e a gente retorna para esse mesmo ponto. E, se a gente também andar no sentido inverso 2π, a gente também retorna para esse mesmo ponto. Sim ou não? Então, essa resposta aqui, definitivamente, vai fazer parte do nosso conjunto solução. Aqui: “0,34 + πn”. Se a gente estiver andando aqui no círculo π, em vez de 2π, múltiplos de π, a gente sairia daqui desse “0,34” e iria parar onde? Iria parar por aqui, assim. E, aí, o seno desse ângulo aqui, ele não seria 1/3 positivo. Ele seria 1/3 negativo. Então, a gente pode excluir da nossa resposta. Aqui embaixo: “-0,34 + 2πn”. “-0,34” vai ser esse ângulo aqui. E, aí, se eu ficar adicionando 2π ou -2π nesse ângulo aqui, eu não vou ter esse mesmo resultado de 1/3. Isso vai dar -1/3, certo? Então, eu posso tirar da resposta. E vai ser a mesma coisa para esse aqui. Agora, aqui embaixo: “2,80 + 2πn” para “n” inteiro. Foi exatamente o que nós fizemos aqui. É ou não é? O “2,80” vai ser esse ângulo aqui, e sempre que eu adicionar múltiplos de 2π, ou -2π, já que esse "n" é um número inteiro, eu vou retornar para esse mesmo ponto. Então, essa resposta aqui funciona. E a última opção: “2,80 + πn”. Se o “2,80” é aqui e eu adicionar π, ou múltiplos de π, eu vou parar aqui. E, aqui, não vai ser mais 1/3 positivo o seno; vai ser 1/3 negativo. Beleza? Aqui é -1/3. E, aí, eu posso excluir essa resposta também. E, aí, as duas únicas alternativas que se aplicam são essas duas. E elas juntas serão os subconjuntos de “sen x = 1/3”. Tranquilo? Nos vemos no próximo vídeo!